Question

【題目】在菱形ABCD中，∠B=60，E是邊CD上一點，以CE為邊作等邊△CEF．

（1） 如圖1，當CE⊥AD ，CF=時，求菱形ABCD的面積；

（2） 如圖2，過點E作∠CEF的平分線交CF于H，連接DH，并延長DH與AC的延長交于點P，若∠ECD=15，求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】

（1）由等邊三角形的性質得出CE的長．再由菱形的性質及∠B=60得到CD的長，根據菱形的面積公式即可得出結論．

（2）連接DF，過F作FG⊥CD于G．由菱形的性質及∠B=60得到△ABC和△ACD是等邊三角形，即可證明△ACE≌△DCF，進而得到DF//AP，由平行線的性質得到∠FDH=∠CPH．

由等邊三角形的性質得到CH=HF．可證明△CHP≌△FHD，得到DF=CP．在Rt△DGF中，由∠FDC=60，可得．在等腰Rt△CFG中，有，從而可以得出結論．

（1）∵等邊△CEF，CF=，∴CE=CF=．

∵菱形ABCD，∠B=60，∴∠D=∠B=60，AD=CD．

∵CE⊥AD，∴∠ECD=30，∴CD=4，∴AD=4，∴S菱形ABCD=ADCE=．

（2）連接DF，過F作FG⊥CD于G．

∵菱形ABCD，∴AB=BC=CD=AD．

∵∠B=60，∴△ABC和△ACD是等邊三角形，∴∠CAD=∠ACD=60．

∵等邊△CEF，∴CE=CF，∠ECF=60，∴∠ACD-∠ECD=∠ECF-∠ECD即∠ACE=∠DCF．

在△ACE與△DCF中，，∴△ACE≌△DCF，∴∠FDC=60．

∵∠ACD=60，∴DF//AP，∴∠FDH=∠CPH．

∵等邊△CEF，EH平分∠CEF，∴CH=HF．

在△CHP與△FHD中，∵∠FDH=∠CPH，∠FHD=∠CHP，HF=CH，∴△CHP≌△FHD，∴DF=CP．

∵∠FDC=60，FG⊥CD，∴．

∵∠ECF=60，∠ECD=15，∴∠DCF=45．

∵∠DCF=45，FG⊥CD，∴，∴．