Question

【題目】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4．點D是線段BC上的一個動點．點D與點B、C不重合，過點D作DE⊥BC交AB于點E，將△ABC沿著直線DE翻折，使點B落在直線BC上的F點．

（1）設∠BAC=α（如圖①），求∠AEF的大小；（用含α的代數式表示）

（2）當點F與點C重合時（如圖②），求線段DE的長度；

（3）設BD=x，△EDF與△ABC重疊部分的面積為S，試求出S與x之間函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）1800-2α．（2）1；（3）S=

【解析】

試題分析：（1）首先在Rt△ABC中，判斷出∠ABC=90°-∠BAC=90°-α；然后根據翻折的性質，可得∠EFB=∠EBF；最后根據三角形外角的性質，可得∠AEF=∠EFB+∠EBF，據此解答即可．

（2）當點F與點C重合時，BD=CD時，判斷出AC∥ED，即可判斷出AE=BE；然后根據三角形中位線定理，求出線段DE的長度是多少即可．

（3）根據題意，分兩種情況：①當點F在AC的右側時，即0＜x≤2時；②當點F在AC的左側時，即2＜x＜4時；然后分類討論，求出S與x之間函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍即可．

試題解析：（1）如圖①，

，

在Rt△ABC中，

∠ABC=90°-∠BAC=90°-α，

∵將△ABC沿著直線DE翻折，使點B落在直線BC上的F點，

∴∠EFB=∠EBF，

∴∠AEF=∠EFB+∠EBF=2∠EBF=2（900-∠BAC）=1800-2α．

（2）如圖②，

，

當點F與點C重合時，BD=CD時，

∵ED⊥BC，AC⊥BC，

∴AC∥ED，

∴AE=BE，

∴DE=AC=×2=1．

（3）當點F與點C重合時，

BD=CD=BC=×4=2．

①如圖③，

，

當點F在AC的右側時，即0＜x≤2時，重疊部分是△EDF．

∵AC∥ED，

∴△ABC∽△EDB，

∴，

即，

∴ED=，

∴S△EDF=×ED×DF=××x=x2，（0＜x≤2）．

②如圖④，

，

當點F在AC的左側時，即2＜x＜4時，

設EF與AC相交于點M，

則重疊部分是四邊形EDCM．

∴FC=FD-CD=x-（4-x）=2x-4

∵∠ACB=∠MCF=90°，∠EFB=∠EBF，

∴△ABC∽△MFC，

∴，

即，

∴MC=x-2，

∴S四邊形EDCF=S△EDF-S△EDF

=×x×-×（x-2）×（2x-4）

=-x2+4x-4，（2＜x＜4）．

綜上，可得

S=