Question

【題目】已知：如圖1，OM是∠AOB的平分線，點C在OM上，OC＝5，且點C到OA的距離為3．過點C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分別為D、E，易得到結論：OD+OE等于多少；

（1）把圖1中的∠DCE繞點C旋轉，當CD與OA不垂直時（如圖2），上述結論是否成立？并說明理由；

（2）把圖1中的∠DCE繞點C旋轉，當CD與OA的反向延長線相交于點D時：

①請在圖3中畫出圖形；

②上述結論還成立嗎？若成立，請給出證明；若不成立，請直接寫出線段OD、OE之間的數量關系，不需證明．

Answer 1

【答案】OD+OE＝8；（1）上述結論成立，理由見解析；（2）①補全圖形如圖3，見解析；②上述結論不成立，OE﹣OD＝8，理由見解析.

【解析】

先利用勾股定理求出OD，再利用角平分線定理得出DE=CD，即可得出結論；
（1）先判斷出∠DCQ=∠ECP，進而判斷出△CQD≌△CPE，得出DQ=PE，即可得出結論；
（2）①依題意即可補全圖形；②同（1）的方法即可得出結論．

∵CD⊥OA，

∴∠ODC＝90°，

在Rt△ODC中，CD＝3，OC＝5，

∴OD＝＝4，

∵點C是∠AOB的平分線上的點，

∴DE＝CD＝3，

同理，OE＝4，

∴OD+OE＝4+4＝8，

故答案為8；

（1）上述結論成立，理由：如圖2，過點C作CQ⊥OA于Q，CP⊥OB于P，

∴∠OQC＝∠EPC＝90°，

∴∠AOB+∠POQ＝180°，

由旋轉知，∠AOB+∠DOE＝180°，

∴∠POQ＝∠DOE，

∴∠DCQ＝∠ECP，

∵點C是∠AOB的平分線上，且CQ⊥OA，CP⊥OB，

∴CQ＝CP，

∵∠OQC＝∠EPC＝90°，

∴△CQD≌△CPE（ASA），

∴DQ＝PE，

∵OD＝OQ﹣DQ，OE＝OP+PE，

∴OD+OE＝OQ﹣DQ+OP+PE＝OQ+OP＝8；

（2）①補全圖形如圖3

②上述結論不成立，OE﹣OD＝8，

理由：過點C作CQ⊥OA于Q，CP⊥OB于P，

∴∠OQC＝∠EPC＝90°，

∴∠AOB+∠POQ＝180°，

由旋轉知，∠AOB+∠DOE＝180°，

∴∠POQ＝∠DOE，

∴∠DCQ＝∠ECP，

∵點C是∠AOB的平分線上，且CQ⊥OA，CP⊥OB，

∴CQ＝CP，

∵∠OQC＝∠EPC＝90°，

∴△CQD≌△CPE（ASA），

∴DQ＝PE，

∵OD＝DQ﹣OQ，OE＝OP+PE，

∴OE﹣OD＝OP+PE﹣（DQ﹣OQ）＝OP+PE﹣DQ+OQ＝OP+OQ＝8．