Question

【題目】某班“手拉手”數學學習互助小組對矩形內兩條互相垂直的線段與矩形兩鄰邊的數量關系進行探究時，遇到以下問題，請你逐一加以解答：

（1）如圖1，正方形ABCD中，EF⊥GH，EF分別交AB，CD于點E，F，GH分別交AD，BC于點G，H，則EF　 　GH；（填“＞”“=”或“＜”）

（2）如圖2，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分別交AB，CD于點E，F，GH分別交AD，BC于點G，H，求證： =；

（3）如圖3，四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，BC=3，CD=5，AD=7．5，AM⊥DN，點M，N分別在邊BC，AB上，求的值．

Answer 1

【答案】（1）=；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）首先過點A作AP∥GH，交BC于P，過點B作BQ∥EF，交CD于Q，交BQ于T，然后根據正方形的性質以及△ABP≌△BCQ的判定與性質，即可得出EF=GH；

（2）首先過點A作AP∥EF，交CD于P，過點B作BQ∥GH，交AD于Q，然后根據矩形的性質以及△PDA∽△QAB的判定與性質，即可得出；

（3）首先過點D作平行于AB的直線，交過點A平行于BC的直線于R，交BC的延長線于S，判定平行四邊形ABSR是矩形，由（1）結論得出，然后判定△ARD∽△DSC，運用其性質和勾股定理構建方程，求解即可.

（1）如圖1中，過點A作AP∥GH，交BC于P，過點B作BQ∥EF，交CD于Q，交BQ于T，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB∥DC，AD∥BC，AB=BC，∠ABP=∠C=90°

∴四邊形BEFQ、四邊形PHGA都是平行四邊形，

∴AP=GH，EF=BQ．

又∵GH⊥EF，

∴AP⊥BQ，

∴∠PBT+∠ABT=90°，∠ABT+∠BAT=90°，

∴∠CBQ=∠BAT，

在△ABP和△BCQ中，

，

∴△ABP≌△BCQ，

∴AP=BQ，

∴EF=GH，

故答案為：=；

（2）過點A作AP∥EF，交CD于P，過點B作BQ∥GH，交AD于Q，如圖2，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB∥DC，AD∥BC．

∴四邊形AEFP、四邊形BHGQ都是平行四邊形，

∴AP=EF，GH=BQ．

又∵GH⊥EF，

∴AP⊥BQ，

∴∠QAT+∠AQT=90°，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠DAB=∠D=90°，

∴∠DAP+∠DPA=90°，

∴∠AQT=∠DPA，

∴△PDA∽△QAB，

∴，

∴；

（3）過點D作平行于AB的直線，交過點A平行于BC的直線于R，交BC的延長線于S，如圖3，

則四邊形ABSR是平行四邊形．

∵∠ABC=90°，

∴平行四邊形ABSR是矩形，

∴∠R=∠S=90°，RS=AB=10，AR=BS．

∵AM⊥DN，

∴由（1）中的結論可得，

設SC=x，則AR=BS=3+x，

∵∠ADC=∠R=∠S=90°，

∴∠ADR+∠RAD=90°，∠ADR+∠SDC=90°，

∴∠RAD=∠CDS，

∴△ARD∽△DSC，

∴==，

∴DR=x，DS=（x+3），

在Rt△ARD中，∵AD2=AR2+DR2，

∴7.52=（x+3）2+（x）2，

整理得13x2+24x﹣189=0，解得x=3或﹣，

∴AR=6，AB=RS=，

∴=.