Question

【題目】如圖，已知二次函數的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，的半徑為，P為上一動點．

點B，C的坐標分別為______，______；

是否存在點P，使得為直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

連接PB，若E為PB的中點，連接OE，則OE的最大值______．

Answer 1

【答案】（1）B（3，0），C（0，﹣4）；（2）點P的坐標為：（﹣1，﹣2）或（，）或（，﹣﹣4）或（﹣，﹣4）；（3）．

【解析】

試題（1）在拋物線解析式中令y=0可求得B點坐標，令x=0可求得C點坐標；

（2）①當PB與⊙相切時，△PBC為直角三角形，如圖1，連接BC，根據勾股定理得到BC=5，BP2的值，過P2作P2E⊥x軸于E，P2F⊥y軸于F，根據相似三角形的性質得到 =2，設OC=P2E=2x，CP2=OE=x，得到BE=3﹣x，CF=2x﹣4，于是得到FP2，EP2的值，求得P2的坐標，過P1作P1G⊥x軸于G，P1H⊥y軸于H，同理求得P1（﹣1，﹣2），②當BC⊥PC時，△PBC為直角三角形，根據相似三角形的判定和性質即可得到結論；

（3）如圖3中，連接AP，由OB=OA，BE=EP，推出OE=AP，可知當AP最大時，OE的值最大．

試題解析：（1）在中，令y=0，則x=±3，令x=0，則y=﹣4，∴B（3，0），C（0，﹣4）；

故答案為：3，0；0，﹣4；

（2）存在點P，使得△PBC為直角三角形，分兩種情況：

①當PB與⊙相切時，△PBC為直角三角形，如圖（2）a，連接BC，∵OB=3．OC=4，∴BC=5，∵CP2⊥BP2，CP2=，∴BP2=，過P2作P2E⊥x軸于E，P2F⊥y軸于F，則△CP2F∽△BP2E，四邊形OCP2B是矩形，∴=2，設OC=P2E=2x，CP2=OE=x，∴BE=3﹣x，CF=2x﹣4，∴ =2，∴x=，2x=，∴FP2=，EP2=，∴P2（，﹣），過P1作P1G⊥x軸于G，P1H⊥y軸于H，同理求得P1（﹣1，﹣2）；

②當BC⊥PC時，△PBC為直角三角形，過P4作P4H⊥y軸于H，則△BOC∽△CHP4，∴ =，∴CH=，P4H=，∴P4（，﹣﹣4）；

同理P3（﹣，﹣4）；

綜上所述：點P的坐標為：（﹣1，﹣2）或（，）或（，﹣﹣4）或（﹣，﹣4）；

（3）如圖（3），連接AP，∵OB=OA，BE=EP，∴OE=AP，∴當AP最大時，OE的值最大，∵當P在AC的延長線上時，AP的值最大，最大值=，∴OE的最大值為．故答案為：．