Question

【題目】如圖，等腰三角形的一邊在軸的正半軸上，點的坐標為， ，動點從原點出發，在線段上以每秒2個單位的速度向點勻速運動，動點從原點出發，沿軸的正半軸以每秒1個單位的速度向上勻速運動，過點作軸的平行線分別交于，設動點，同時出發，當點到達點時，點也停止運動，他們運動的時間為秒 ．

（1）點的坐標為_____,的坐標為____；

（2）當為何值時，四邊形為平行四邊形；

（3）是否存在某一時刻，使為直角三角形？若存在，請求出此時的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（t，t），（10-t，t）；（2）當t為時，四邊形POEF是平行四邊形；（3）t=和4時，使△PEF為直角三角形．

【解析】

（1）過點A作AD⊥OB，由點A的坐標為（6，8），可得OD=6，AD=8，然后由勾股定理得：OA=10，由OA=OB可得：OB=10，進而可得：BD=4，進而可得點B的坐標為：（10，0），然后設OA的關系式：y=kx，然后將A（6，8）代入即可得直線OA的關系式，然后設直線AB的關系式為：y=kx+b，然后將A，B兩點代入，即可確定直線AB的關系式，由過點Q作x軸的平行線分別交OA，AB于E，F，可知點Q、E、F三點的縱坐標相等均為t，然后由點E在OA上，點F在AB上，將點E、F的縱坐標分別代入對應的關系式，即可得到得到點E、F的坐標；
（2）由EF∥OP，欲使四邊形POEF是平行四邊形，只需EF=OP即可，從而可得關于t的等式，解答即可；
（3）分三種情況討論：①PE⊥EF，②PE⊥PF，③EF⊥PF即可．

解：（1）過點A作AD⊥OB，垂足為D，如圖1，

∵點A的坐標為（6，8），
∴OD=6，AD=8，
由勾股定理得：OA=10，
∵OA=OB，
∴OB=10，
∴BD=4，
∴點B的坐標為：（10，0），
設直線OA的關系式：y=kx，
將A（6，8）代入上式，得：
6k=8，
解得：k=，
所以直線OA的關系式：y=x，
設直線AB的關系式為：y=kx+b，
將A，B兩點代入上式得：
，
解得： ，
所以直線AB的關系式為：y=-2x+20，
∵過點Q作x軸的平行線分別交OA，AB于E，F，
∴點Q、E、F三點的縱坐標相等，
∵動點Q從原點O出發，沿y軸的正半軸以每秒1個單位的速度向上勻速運動，
動點P從原點O出發，在線段OB上以每秒2個單位的速度向點B勻速運動，
∴t秒后，OQ=t，OP=2t，
∴Q、E、F三點的縱坐標均為t，
將點E的縱坐標t代入y=x，得：x=t，
∴E點的坐標為：（t，t），
將點E的縱坐標t代入y=-2x+20，得：x=10-t，
∴F點的坐標為：（10-t，t），
故答案為：（t，t），（10-t，t）；
（2）由（1）知：E（t，t），F（10-t，t），
∴EF=10-t-t=10-t，
∵四邊形POEF是平行四邊形，
∴EF∥OP，且EF=OP，
即10-t=2t，
解得：t=，
∴當t為時，四邊形POEF是平行四邊形；
（3）過點E作EM⊥OB，垂足為M，過點F作FN⊥OB，垂足為N，
可得四邊形EMNF是矩形，如圖2，

①當PE⊥PF時，PE2+PF2=EF2，
由（1）知：OM=t，EM=FN=t，ON=10-t，EF=10-t，
∴PM=t，PN=10-t，
∵PE2=ME2+MP2，PF2=PN2+FN2，
∴t2+（t）2+（10-t）2+t2=（10-t）2，
解得：t1=0（舍去），t2=；
②當PE⊥EF時，如圖3，可得四邊形EPNF是矩形，

∵四邊形EPNF是矩形，
∴EF=PN，
即：EF=ON-OP，
∴10-t=10-t-2t，
解得t=0（舍去）；
③當EF⊥PF時，如圖4，可得四邊形EMPF是矩形，

∵四邊形EMPF是矩形，
∴EF=MP，
即EF=OP-OM，
∴10-t=2t-t，
解得：t=4，
∴當t=和4時，使△PEF為直角三角形．