Question

【題目】如圖，在四邊形中，，，，，、分別在、上，且，與相交于點，與相交于點．

（1）求證：四邊形為矩形；

（2）判斷四邊形是什么特殊四邊形？并說明理由；

（3）求四邊形的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）四邊形EFPH為矩形，理由見解析；（3）

【解析】

（1）由平行線的性質(zhì)證出∠BCD=90°即可；

（2）根據(jù)矩形性質(zhì)得出CD=2，根據(jù)勾股定理求出CE和BE，求出CE2+BE2的值，求出BC2，根據(jù)勾股定理的逆定理求出∠BEC=90°，根據(jù)矩形的性質(zhì)和平行四邊形的判定，推出平行四邊形DEBP和AECP，推出EH//FP，EF//HP，推出平行四邊形EFPH，根據(jù)矩形的判定推出即可；

（3）根據(jù)三角形的面積公式求出CF，求出EF，根據(jù)勾股定理求出PF，根據(jù)面積公式求出即可．

（1）證明：∵AB//CD，

∴∠CBA+∠BCD=180°，

∵∠CBA=∠ADC=90°，

∴∠BCD=90°，

∴四邊形ABCD是矩形；

（2）解：四邊形EFPH為矩形；理由如下：

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD=BC=5，AB=CD=2，AD∥BC，

由勾股定理得：CE= ，

同理BE=2，

∴CE2+BE2=5+20=25，

∵BC2=52=25，

∴BE2+CE2=BC2，

∴∠BEC=90°，

∴△BEC是直角三角形．

∵DE=BP，DE//BP，

∴四邊形DEBP是平行四邊形，

∴BE//DP，

∵AD=BC，AD//BC，DE=BP，

∴AE=CP，

∴四邊形AECP是平行四邊形，

∴AP//CE，

∴四邊形EFPH是平行四邊形，

∵∠BEC=90°，

∴平行四邊形EFPH是矩形．

（3）解：∵四邊形AECP是平行四邊形，

∴PD=BE=2，

在Rt△PCD中，FC⊥PD，PC=BC-BP=4，

由三角形的面積公式得：PDCF=PCCD，

∴CF=，

∴EF=CE-CF=，

∵PF=，

∴S矩形EFPH=EFPF=，

即：四邊形EFPH的面積是．