Question

【題目】已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點A順時針旋轉，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長線）于點M、N．當∠MAN繞點A旋轉到BM=DN時（如圖1），易證BM+DN=MN．

（1）當∠MAN繞點A旋轉到BM≠DN時（如圖2），線段BM、DN和MN之間有怎樣的數量關系？寫出猜想，并加以證明；

（2）當∠MAN繞點A旋轉到如圖3的位置時，線段BM、DN和MN之間又有怎樣的數量關系？請直接寫出你的猜想．

Answer 1

【答案】（1）DN+BM=MN；（2）DN﹣BM=MN．

【解析】

試題分析：（1）BM+DN=MN成立，證得B、E、M三點共線即可得到△AEM≌△ANM，從而證得ME=MN．

（2）DN﹣BM=MN．證明方法與（1）類似．

解：（1）BM+DN=MN成立．

證明：如圖，把△ADN繞點A順時針旋轉90°，

得到△ABE，則可證得E、B、M三點共線（圖形畫正確）．

∴∠EAM=90°﹣∠NAM=90°﹣45°=45°，

又∵∠NAM=45°，

∴在△AEM與△ANM中，

∴△AEM≌△ANM（SAS），

∴ME=MN，

∵ME=BE+BM=DN+BM，

∴DN+BM=MN；

（2）DN﹣BM=MN．

在線段DN上截取DQ=BM，

在△ADQ與△ABM中，

∵，

∴△ADQ≌△ABM（SAS），

∴∠DAQ=∠BAM，

∴∠QAN=∠MAN．

在△AMN和△AQN中，

∴△AMN≌△AQN（SAS），

∴MN=QN，

∴DN﹣BM=MN．