Question

【題目】如圖1，是的直徑，弦于點，點為上一點，連接、、，交于點．

（1）求證：；

（2）如圖2，連接，交于點，若，求證：是等腰三角形；

（3）如圖3，在（2）的條件下，若，，求的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）根據垂徑定理，得出，再根據圓心角與圓周角的關系可證明；

（2）根據可推導出，從而證△DFG是等腰三角形；

（3）如下圖，先證，設，則根據可得AM=，再證，設設，則可得出，最后在中利用勾股定理求得r的值．

（1）證明：連接

是直徑，，

．

．

（2）證明：，

．

∵，，

，

，，

．

．

是等腰三角形．

（3）解：如圖，連接，連接并延長交于點，過點作于點．

，，，

，，

．

．

，設半徑為，

，

，

，

，

，

．

，，

．

．

．

，

，

，

，

，

，

．

設，則，．

．

，，，

．

．

過點作于點，

，，

．

，

，

．

．

在中，，

解得．