Question

【題目】在四邊形OABC中，AB∥OC，BC⊥x軸于C，A（1，-1），B（3，-1），動點P從O點出發，沿x軸正方向以3個單位/秒的速度運動．過P作PQ⊥OA于Q．設P點運動的時間為t秒（0 < t < ），ΔOPQ與四邊形OABC重疊的面積為S．

（1）求經過O、A、B三點的拋物線的解析式并確定頂點M的坐標；

（2）用含t的代數式表示P、Q兩點的坐標；

（3）將ΔOPQ繞P點逆時針旋轉90°，是否存在t，使得ΔOPQ的頂點O或Q落在拋物線上？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由；

（4）求S與t的函數解析式；

Answer 1

【答案】（1）；頂點M的坐標為（2，）；（2）P（3t，0），Q（ ）；（3）存在，或；（4）

【解析】

（1）設拋物線的解析式為，然后將點O、A、B的坐標代入即可求出結論；

（2）過點A作AH⊥x軸于H，過點Q作QN⊥x軸于N，證出△OAH為等腰直角三角形，∠AOH=45°，然后由題意易知OP=3t，△OPQ為等腰直角三角形，根據三線合一和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求出結論；

（3）將△OPQ繞P點逆時針旋轉90°，得到△O′PQ′，如下圖所示，過點Q′作Q′K⊥x軸于K，根據題意即可求出O′的坐標，然后利用銳角三角函數即可求出Q′的坐標，然后根據O′在拋物線或Q′在拋物線分類討論，代入解析式即可求出結論；

（4）根據t的取值分類討論，分別畫出對應的圖形，根據三角形的面積、梯形的面積計算即可．

解：（1）設拋物線的解析式為

將點O、A、B的坐標代入，得

解得：

∴拋物線的解析式為

∵

∴頂點M的坐標為（2，）；

（2）過點A作AH⊥x軸于H，過點Q作QN⊥x軸于N

∵點A（1，-1）

∴AH=OH=1，

∴△OAH為等腰直角三角形，∠AOH=45°

∵動點P從O點出發，沿x軸正方向以3個單位/秒的速度運動，PQ⊥OA

∴OP=3t，△OPQ為等腰直角三角形

∴QN=ON=OP=

∴點P的坐標為（3t，0），點Q的坐標為（，）；

（3）將△OPQ繞P點逆時針旋轉90°，得到△O′PQ′，如下圖所示，過點Q′作Q′K⊥x軸于K

由題意可知：∠OPO′=∠QPQ′=90°，O′P=OP=3t，PQ′=PQ=OP·sin∠POQ=

∴∠Q′PK=180°－∠OPQ－∠QPQ′=45°，點O′的坐標為（3t，-3t）

∴PK=Q′K= PQ′·sin∠Q′PK=

∴OK=OP＋PK=

∴點Q′的坐標為（，）

當點O′在拋物線上時，則

解得：（不符合題意，舍去）；

當點Q′在拋物線上時，則

解得：（不符合題意，舍去）；

綜上：當t=或時，△OPQ的頂點O或Q落在拋物線上

（4）由（3）知OP=3t，OQ=PQ=

根據勾股定理可得OA=

∴當點Q與點A重合時，，解得：t=；

當點P與點C重合時3t=3，解得：t=1；

當0＜t≤時，如下圖所示

S=OQ·PQ=××=；

當＜t≤1時，如下圖所示

∵AB∥OC

∴∠QAE=∠POQ=45°

易知EQ=AQ=OQ－OA=－

∴S=S△OPQ－S△AEQ

=OQ·PQ－AQ·EQ

=××－（－）（－）

=3t－1；

當1＜t＜時，如下圖所示，PQ分別與AB、BC交于點E、F

易知：OC=3，AB=3－1=2，BC=1，PC=3t－3，△PCF和△BEF為等腰直角三角形

∴CF=PC=3t－3，

∴BE=BF=BC－CF=4－3t

∴S=S梯形OABC－S△BEF

=BC（AB＋OC）－BE·BF

=×1×（2＋3）－（4－3t）（4－3t）

=

綜上：