Question

【題目】我們規定：平面內點A到圖形G上各個點的距離的最小值稱為該點到這個圖形的最小距離d，點A到圖形G上各個點的距離的最大值稱為該點到這個圖形的最大距離D，定義點A到圖形G的距離跨度為R=D-d．

（1）①如圖1，在平面直角坐標系xOy中，圖形G1為以O為圓心，2為半徑的圓，直接寫出以下各點到圖形G1的距離跨度：

A（1，0）的距離跨度______________；

B（-， ）的距離跨度____________；

C（-3，-2）的距離跨度____________；

②根據①中的結果，猜想到圖形G1的距離跨度為2的所有的點組成的圖形的形狀是______________．

（2）如圖2，在平面直角坐標系xOy中，圖形G2為以D（-1，0）為圓心，2為半徑的圓，直線y=k（x-1）上存在到G2的距離跨度為2的點，求k的取值范圍．

（3）如圖3，在平面直角坐標系xOy中，射線OP：y=x（x≥0），⊙E是以3為半徑的圓，且圓心E在x軸上運動，若射線OP上存在點到⊙E的距離跨度為2，求出圓心E的橫坐標xE的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①2；2，4；②以O為圓心，半徑為1的圓；（2）-≤k≤；（3）-1≤xE≤2 ．

【解析】試題分析：（1）①先根據跨度的定義先確定出點到圓的最小距離d和最大距離D，即可得出跨度；
②分點在圓內和圓外兩種情況同①的方法計算，判定得出結論；
（2）先判斷出存在的點P必在圓O內，設出點P的坐標，利用點P到圓心O的距離的2倍是點P到圓的距離跨度，建立方程，由于存在距離跨度是2的點，此方程有解即可得出k的范圍．
（3）同（2）方法判斷出存在的點P在圓C內部，由于在射線OA上存在距離跨度是2的點，同（2）的方法建立方程，用一元二次方程根與系數的關系和根的判別式即可確定出范圍．

試題解析：

（1）①∵圖形G1為以O為圓心，2為半徑的圓，
∴直徑為4，
∵A（1，0），OA=1，
∴點A到⊙O的最小距離d=1，
點A到⊙O的最大距離D=3，
∴點A到圖形G1的距離跨度R=D-d=3-1=2；
∵B

∴點B到⊙O的最小距離d=BG=OG-OB=1，
點B到⊙O的最大距離D=BF=FO+OB=2+1=3，
∴點B到圖形G1的距離跨度R=D-d=3-1=2；
∵C（-3，-2），
∴OC＝

∴點C到⊙O的最小距離d=CD=OC-OD=－2.

點C到⊙O的最大距離D=CE=OC+OE=2+

∴點C到圖形G1的距離跨度R=D-d=2+－（－2））=4；
故答案為2，2，4．
②a、設⊙O內一點P的坐標為（x，y），
∴OP=

∴點P到⊙O的最小距離d=2-OP，點P到⊙O的最大距離D=2+OP，
∴點P到圖形G1的距離跨度R=D-d=2+OP-（2-OP）=2OP；
∵圖形G1的距離跨度為2，
∴2OP=2，
∴OP=1，
∴＝1

∴x2+y2=1，
即：到圖形G1的距離跨度為2的所有的點組成的圖形的形狀是以點O為圓心，1為半徑的圓．
b、設⊙O外一點Q的坐標為（x，y），
∴OQ=

∴點Q到⊙O的最小距離d=OQ-2，點P到⊙O的最大距離D=OQ+2，
∴點P到圖形G1的距離跨度R=D-d=OQ+2-（OQ-2）=4；
∵圖形G1的距離跨度為2，
∴此種情況不存在，
所以，到圖形G1的距離跨度為2的所有的點組成的圖形的形狀是以點O為圓心，1為半徑的圓．
故答案為：圓；

（2）設直線y=k（x+1）上存在到G2的距離跨度為2的點P（m，k（m+1）），
∴OP＝

由（1）②知，圓內一點到圖形圓的跨度是此點到圓心距離的2倍，圓外一點到圖形圓的跨度是此圓的直徑，
∵圖形G2為以C（1，0）為圓心，2為半徑的圓，到G2的距離跨度為2的點，
∴距離跨度小于圖形G2的圓的直徑4，
∴點P在圖形G2⊙C內部，
∴R=2OP=2

∵直線y=k（x+1）上存在到G2的距離跨度為2的點P，
∴2＝2

∴（k2+1）m2+2（k2-1）m+k2=0①，
∵存在點P，
∴方程①有實數根，
∴△=4（k2-1）2-4×（k2+1）k2=-12k2+4≥0，

（3）如圖，作EC⊥OP于C，交⊙E于D、H．

由題意：⊙E是以3為半徑的圓，且圓心E在x軸上運動，若射線OP上存在點到⊙E的距離跨度為2，此時以E為圓心1為半徑的圓與射線OP相切，當以E為圓心1為半徑的圓與射線OP有交點時，滿足條件，
∴CD=2，CH=4，CE=1，
∵射線OP的解析式為y=，
∴∠COE=30°，OE=2CE=2，
當E′（-1，0）時，點O到⊙E的距離跨度為2，
觀察圖象可知，滿足條件的圓心E的橫坐標xE的取值范圍：-1≤xE≤2．
故答案為：-1≤xE≤2．