Question

【題目】已知正方形的邊長為6，點是直線上一點，且，連接，作線段的垂直平分線交直線于點，則線段的長為__________．

Answer 1

【答案】4或16

【解析】

分為兩種情況：P在DA的延長線上時，P在AD的延長線上時，連接BE，根據線段垂直平分線求出PE=BE，根據勾股定理求出BE，根據全等求出BQ=PE，即可得出答案．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AD=BC=AB=6，
∵3AP=AD，
∴AP=2，
分為兩種情況：

①如圖1所示：P在DA的延長線上時，QE交直線AD于E，與BP交于O，

連接BE，
∵QE是BP的垂直平分線，
∴PE=BE，，
設PE=BE=x，則AE=x-2，
在Rt△AEB中，由勾股定理得：AE2+AB2=BE2，
(x-2)2+62=x2，
解得：x=10，
即PE=BE=10，
∵AD∥BC，
∴∠P=∠QBO，
在△PEO和△BQO中，

，

∴△PEO≌△BQO（ASA），
∴BQ=PE=10，
∵CD=6，
∴CQ=6+10=16；
②如圖2所示：P在AD的延長線上時，

同理：BQ=10，
此時CQ=10-6=4；
故答案為：4或16．