Question

【題目】在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的中線，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD對折，使點C落在C′的位置，C′D交AB于點Q，則的值為（　　）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

根據折疊得到對應線段相等，對應角相等，根據直角三角形的斜邊中線等于斜邊一半，可得出AD＝DC＝BD，AC＝AC′，∠ADC＝∠ADC′＝45°，CD＝C′D，進而求出∠C、∠B的度數，求出其他角的度數，可得AQ＝AC，將轉化為，再由相似三角形和等腰直角三角形的邊角關系得出答案．

解：如圖，過點A作AE⊥BC，垂足為E，

∵∠ADC＝45°，

∴△ADE是等腰直角三角形，即AE＝DE＝AD，

在Rt△ABC中，

∵∠BAC＝90°，AD是△ABC的中線，

∴AD＝CD＝BD，

由折疊得：AC＝AC′，∠ADC＝∠ADC′＝45°，CD＝C′D，

∴∠CDC′＝45°+45°＝90°，

∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°＝∠C′AD，

∴∠B＝90°﹣∠C＝∠CAE＝22.5°，∠BQD＝90°﹣∠B＝∠C′QA＝67.5°，

∴AC′＝AQ＝AC，

由△AEC∽△BDQ得：＝，

∴＝＝＝＝．

故選：A．