Question

【題目】如圖，BD是△ABC的角平分線，它的垂直平分線分別交AB、BC于點E、F、G，連接ED、DG．

（1）請判斷四邊形EBGD的形狀，并說明理由；

（2）若∠ABC=30°，∠C=45°，ED=2，求GC的長．

Answer 1

【答案】（1）四邊形EBGD是菱形．理由見解析；（2）1+

【解析】試題分析：（1）結論四邊形EBGD是菱形．只要證明BE=ED=DG=GB即可．

（2）作DH⊥BC于H，由四邊形EBGD為菱形ED=DG=2，求出GH，CH即可解決問題．

試題解析：（1）四邊形EBGD是菱形．

理由：∵EG垂直平分BD，

∴EB=ED，GB=GD，

∴∠EBD=∠EDB，

∵∠EBD=∠DBC，

∴∠EDF=∠GBF，

在△EFD和△GFB中，

，

∴△EFD≌△GFB，

∴ED=BG，

∴BE=ED=DG=GB，

∴四邊形EBGD是菱形．

（2）作DH⊥BC于H，

∵四邊形EBGD為菱形ED=DG=2，

∴∠ABC=30°，∠DGH=30°，

∴DH=1，GH=，

∵∠C=45°，

∴DH=CH=1，

∴CG=GH+CH=1+．