Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的弦，點C是弧AB的中點，D是弦AB上一動點，且不與A、B重合，CD的延長線交于⊙O點E，連接AE、BE，過點A作AF⊥BC，垂足為F，∠ABC＝30°．

（1）求證：AF是⊙O的切線；

（2）若BC＝6，CD＝3，則DE的長為　 　；

（3）當點D在弦AB上運動時，的值是否發生變化？如果變化，請寫出其變化范圍；如果不變，請求出其值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）9；（3）不變，

【解析】

（1）如圖1中，連接AC，OC，OA．想辦法證明OA∥BF即可解決問題；

（2）證明△BCD∽△ECB，推出，求出CE即可解決問題；

（3）如圖2中，連接AC，OC，OC交AB于H，作AN∥EC交BE的延長線于N．證明△ACE∽△ABN，推出可得結論．

（1）證明：如圖1中，連接AC，OC，OA，

∵∠AOC＝2∠ABC＝60°，OA＝OC，

∴△AOC是等邊三角形，

∴∠CAO＝60°，

∵，

∴AB⊥OC，

∴∠OAD＝∠OAC＝30°，

∵∠ABC＝30°，

∴∠ABC＝∠OAD，

∴OA∥BF，

∵AF⊥BF，

∴OA⊥AF，

∴AF是⊙O的切線；

（2）解：∵，

∴∠CBD＝∠BEC，

∵∠BCD＝∠BCE，

∴△BCD∽△ECB，

∴，

∴，

∴EC＝12，

∴DE＝EC﹣CD＝12﹣3＝9，

故答案為：9；

（3）解：結論：＝，的值不變．

理由：如圖2中，連接AC，OC，OC交AB于H，作AN∥EC交BE的延長線于N．

∵，

∴OC⊥AB，CB＝CA，

∴BH＝AH＝AB，

∵∠ABC＝30°，

∴BH＝BC，

∴AC＝AB，

∵CE∥AN，

∴∠N＝∠CEB＝30°，∠EAN＝∠AEC＝∠ABC＝30°，

∴∠CEA＝∠ABC＝30°，∠EAN＝∠N，

∴∠N＝∠AEC，AE＝EN，

∵∠ACE＝∠ABN，

∴△ACE∽△ABN，

∴＝，

∴＝，

∴的值不變．