Question

【題目】在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，將△COD繞點O按逆時針方向旋轉得到△C1OD1，旋轉角為θ（0°＜θ＜90°），連接AC1、BD1，AC1與BD1交于點P．

（1）如圖1，若四邊形ABCD是正方形．

①求證：△AOC1≌△BOD1．

②請直接寫出AC1 與BD1的位置關系．

（2）如圖2，若四邊形ABCD是菱形，AC＝5，BD＝7，設AC1＝kBD1．判斷AC1與BD1的位置關系，說明理由，并求出k的值．

（3）如圖3，若四邊形ABCD是平行四邊形，AC＝5，BD＝10，連接DD1，設AC1＝kBD1．請直接寫出k的值和AC12+（kDD1）2的值．

Answer 1

【答案】（1）①詳見解析；②AC1⊥BD1；（2）AC1⊥BD1，理由詳見解析，k＝；（3）k＝， AC12+（kDD1）2＝25．

【解析】

（1）①如圖1，根據正方形的性質得OC＝OA＝OD＝OB，AC⊥BD，則∠AOB＝∠COD＝90°，再根據旋轉的性質得OC1＝OC，OD1＝OD，∠COC1＝∠DOD1，則OC1＝OD1，利用等角的補角相等得∠AOC1＝∠BOD1，然后根據“SAS”可證明△AOC1≌△BOD1；

②由∠AOB＝90°，則∠OAB+∠ABP+∠OBD1＝90°，所以∠OAB+∠ABP+∠OAC1＝90°，則∠APB＝90°所以AC1⊥BD1；

（2）如圖2，根據菱形的性質得OC＝OA＝AC，OD＝OB＝BD，AC⊥BD，則∠AOB＝∠COD＝90°，再根據旋轉的性質得OC1＝OC，OD1＝OD，∠COC1＝∠DOD1，則OC1＝OA，OD1＝OB，利用等角的補角相等得∠AOC1＝∠BOD1，加上，根據相似三角形的判定方法得到△AOC1∽△BOD1，得到∠OAC1＝∠OBD1，由∠AOB＝90°得∠OAB+∠ABP+∠OBD1＝90°，則∠OAB+∠ABP+∠OAC1＝90°，則∠APB＝90°，所以AC1⊥BD1；然后根據相似比得到，所以k＝；

（3）與（2）一樣可證明△AOC1∽△BOD1，則，所以k＝；根據旋轉的性質得OD1＝OD，根據平行四邊形的性質得OD＝OB，則OD1＝OB＝OD，于是可判斷△BDD1為直角三角形，根據勾股定理得BD12+DD12＝BD2＝100，所以（2AC1）2+DD12＝100，于是有AC12+（kDD1）2＝25．

（1）①證明：如圖1，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴OC＝OA＝OD＝OB，AC⊥BD，

∴∠AOB＝∠COD＝90°，

∵△COD繞點O按逆時針方向旋轉得到△C1OD1，

∴OC1＝OC，OD1＝OD，∠COC1＝∠DOD1，

∴OC1＝OD1，∠AOC1＝∠BOD1＝90°+∠AOD1，

在△AOC1和△BOD1中

，

∴△AOC1≌△BOD1（SAS）；

②AC1⊥BD1；

∵∠AOB＝90°，

∴∠OAB+∠ABP+∠OBD1＝90°，

∴∠OAB+∠ABP+∠OAC1＝90°，則∠APB＝90°

∴AC1⊥BD1；

（2）AC1⊥BD1．

理由如下：如圖2，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴OC＝OA＝AC，OD＝OB＝BD，AC⊥BD，

∴∠AOB＝∠COD＝90°，

∵△COD繞點O按逆時針方向旋轉得到△C1OD1，

∴OC1＝OC，OD1＝OD，∠COC1＝∠DOD1，

∴OC1＝OA，OD1＝OB，∠AOC1＝∠BOD1，

∴，

∴△AOC1∽△BOD1，

∴∠OAC1＝∠OBD1，

又∵∠AOB＝90°，

∴∠OAB+∠ABP+∠OBD1＝90°，

∴∠OAB+∠ABP+∠OAC1＝90°，

∴∠APB＝90°

∴AC1⊥BD1；

∵△AOC1∽△BOD1，

∴

∴k＝；

（3）如圖3，與（2）一樣可證明△AOC1∽△BOD1，

∴，

∴k＝；

∵△COD繞點O按逆時針方向旋轉得到△C1OD1，

∴OD1＝OD，

而OD＝OB，

∴OD1＝OB＝OD，

∴△BDD1為直角三角形，

在Rt△BDD1中，

BD12+DD12＝BD2＝100，

∴（2AC1）2+DD12＝100，

∴AC12+（kDD1）2＝25．