Question

【題目】若兩個二次函數圖象的頂點相同，開口大小相同，但開口方向相反，則稱這兩個二次函數為“對稱二次函數”．
（1）請寫出二次函數y=2（x﹣2）2+1的“對稱二次函數”；
（2）已知關于x的二次函數y1=x2﹣3x+1和y2=ax2+bx+c，若y1﹣y2與y1互為“對稱二次函數”，求函數y2的表達式，并求出當﹣3≤x≤3時，y2的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：二次函數y=2（x﹣2）2+1的“對稱二次函數”是y=﹣2（x﹣2）2+1；
（2）解：∵y1=x2﹣3x+1，y2=ax2+bx+c，

∴y1﹣y2=（1﹣a）x2﹣（3+b）x+1﹣c=（1﹣a）[x﹣ ]2+ ．

又y1﹣y2與y1互為“對稱二次函數”，y1=x2﹣3x+1=（x﹣ ）2﹣ ，

∴ ，解得 ，

∴y2=2x2﹣6x+ ，

∴y2=2（x﹣ ）2，

∴y2的對稱軸為直線x= ，

∵2＞0，且﹣3≤x≤3，

∴當x=﹣3時，y2最大值=2×（﹣3）2﹣6×（﹣3）+ = ．

【解析】（1）根據“對稱二次函數”的定義即可求解；（2）根據y1﹣y2與y1互為“對稱二次函數”，求出函數y2的表達式，然后將函數y2的表達式轉化為頂點式，再利用二次函數的性質就可以解決問題．
【考點精析】關于本題考查的二次函數的性質和二次函數的最值，需要了解增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小；如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a才能得出正確答案．