Question

【題目】已知，如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，以AB為直徑的⊙O交BC于D，OD交AC的延長線于E，OA=1，AE=3．則下列結(jié)論正確的有 ． ①∠B=∠CAD；②點C是AE的中點；③ = ；④tan B= ．

Answer 1

【答案】①③④
【解析】解：∵AB為直徑， ∴∠ADB=90°，
∴∠B+∠DAB=90°，
∵∠CAD+∠DAB=90°，
∴∠B=∠CAD，故①正確；
∵∠CAD=∠B=∠ODB=∠CDE，∠E=∠E，
∴△ECD∽△EDA，
∴ = ，
∵OA=1，AE=3，
∴OE= ，ED= ﹣1，
∴ = ，
∴CE= ≠ AE，
即點C不是AE的中點，故②不正確；
由△ECD∽△EDA，得 = ，
在Rt△ABC中，AD⊥BC，
∴△ACD∽△BAD，
∴ = ，
∴ = ，故③正確；
tanB= = = = ，故④正確．
所以答案是：①③④．
【考點精析】利用圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．