Question

【題目】如圖所示，拋物線（m＞0）的頂點為A，直線與軸的交點為點B.

（1）求出拋物線的對稱軸及頂點A的坐標（用含的代數式表示）；

（2）證明點A在直線上，并求∠OAB的度數；

（3）動點Q在拋物線對稱軸上，問：拋物線上是否存在點P，使以點P、Q、A為頂點的三角形與△OAB全等？若存在，求出的值，并寫出所有符合上述條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）拋物線的對稱軸為直線，頂點A的坐標為（，0）；（2）∠OAB=30°；（3）存在，①=時， P（0，-），P（，-）；②=時，P（，-3），P（3+，-3）；③=2時， P（，-3），P（，-3）；④=時， P（，-），P（，-）.

【解析】（1）根據拋物線的解析式可得出拋物線的對稱軸和A點坐標，

（2）將A點坐標代入直線的解析式中進行驗證即可得出A點是否在直線y＝xm上的．求∠OAB的度數，可通過求∠OAB的正切值來得出，根據直線AB的解析式可得出B點坐標，即可得出OB的長，OA的長已求出，因此可在三角形OAB中得出∠OAB的正切值．即可得出∠OAB的度數．

（3）本題可分成四種情況：

一：∠AQP=∠AOB=90°：

①AO=PQ，OB=AQ，此時P、B重合，即可求出P點坐標（根據拋物線的對稱性可知：P點關于拋物線對稱軸的對稱點也符合要求）．

②AO=AQ，PQ=OB，此時P點縱坐標的絕對值與A點橫坐標相等，可將其代入拋物線的解析式中，可得出兩個符合條件的P點坐標．

二：∠APQ=∠AOB=90°：

①AO=PA，OB=PQ，可過P作拋物線對稱軸的垂線，通過∠PAQ的度數和AP即OA的長求出P點縱坐標，然后代入拋物線的解析式中即可得出兩個符合條件的P點坐標．

②AO=PQ，PA=OB，同①

因此本題共有8個符合條件的P點坐標．

（1）對稱軸：x=m；

頂點：A（m，0）．

（2）將x=m代入函數y=x-m，

得y=×m-m=0

∴點A（m，0）在直線l上．

當x=0時，y=-m，

∴B（0，-m）

tan∠OAB=，

∴∠OAB=30度．

（3）以點P、Q、A為頂點的三角形與△OAB全等共有以下四種情況：

①當∠AQP=90°，PQ=m，AQ=m時，

如圖1，此時點P在y軸上，與點B重合，其坐標為（0，-m），

代入拋物線y=-（x-m）2

得-m=-3m2，

∵m＞0，

∴m=

這時有P1（0，-）

其關于對稱軸的對稱點P2（，- ）也滿足條件．

②當∠AQP=90°，PQ=m，AQ=m時

點P坐標為（m-m，-m），

代入拋物線y=-（x-m）2

得m=m2，

∵m＞0，

∴m=

這時有P3（3-，-3）

還有關于對稱軸的對稱點P4（3+，-3）．

③當∠APQ=90°，AP=m，PQ=m時

點P坐標為（m，m），代入拋物線y=-（x-m）2

得m=m2，

∵m＞0，

∴m=2

這時有P5（，-3）

還有關于對稱軸的對稱點P6（3，-3）．

④當∠APQ=90°，AP=m，PQ=m時

點P坐標為（m，m），

代入拋物線y=-（x-m）2

得m=m2，

∵m＞0，

∴m=

這時有P7（，-）

還有關于對稱軸對稱的點P8（，-）．

所以當m=時，有點P1（0，-），P2（，-）；

當m=時，有點P3（3-，-3），P4（3+，-3）；

當m=2時，有點P5（，-3），P6（3，-3）；

當m=時，有點P7（，-），P8（，-）．