Question

（本小題滿分12分）如圖，四邊形OABC為直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）．點M從O出發以每秒2個單位長度的速度向A運動；點N從B同時出發，以每秒1個單位長度的速度向C運動．其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動．過點N作NP垂直x軸于點P，連接AC交NP于Q，連接MQ．

（1）點     （填M或N）能到達終點；
（2）求△AQM的面積S與運動時間t的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍，當t為何值時，S的值最大；
（3）是否存在點M，使得△AQM為直角三角形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）M；（2），當時，S的值最大；（3）存在，點M的坐標為（1，0）或（2，0），理由見試題解析．

試題分析：（1）（BC÷點N的運動速度）與（OA÷點M的運動速度）可知點M能到達終點．
（2）經過t秒時可得NB=y，OM﹣2t．根據∠BCA=∠MAQ=45°推出QN=CN，PQ的值．求出S與t的函數關系式后根據t的值求出S的最大值．
（3）本題分兩種情況討論（若∠AQM=90°，PQ是等腰Rt△MQA底邊MA上的高；若∠QMA=90°，QM與QP重合）求出t值．
試題解析：（1）點M．
（2）經過秒時，NB=，OM=，則CN=，AM=，∵A（4，0），C（0，4），∴AO=CO=4，∵∠AOC=90°，∴∠BCA=∠MAQ=45°，∴QN=CN=，∴PQ=，
∴S_△AMQ=AM•PQ==．∴，∴，∵，∴當時，S的值最大．
（3）存在．
設經過秒時，NB=，OM=，則CN=，AM=，∴∠BCA=∠MAQ=45°．
①若∠AQM=90°，則PQ是等腰Rt△MQA底邊MA上的高，∴PQ是底邊MA的中線，∴PQ=AP=MA，
∴，∴，∴點M的坐標為（1，0）．
②若∠QMA=90°，此時QM與QP重合，∴QM=QP=MA，∴，解得：，∴點M的坐標為（2，0）．