Question

已知拋物線C₁的頂點為P（1，0），且過點（0，）．將拋物線C₁向下平移h個單位（h＞0）得到拋物線C₂．一條平行于x軸的直線與兩條拋物線交于A、B、C、D四點（如圖），且點A、C關于y軸對稱，直線AB與x軸的距離是m²（m＞0）．

（1）求拋物線C₁的解析式的一般形式；
（2）當m=2時，求h的值；
（3）若拋物線C₁的對稱軸與直線AB交于點E，與拋物線C₂交于點F．求證：tan∠EDF﹣tan∠ECP=．

Answer 1

解：（1）設拋物線C₁的頂點式形式（a≠0），
∵拋物線過點（0，），∴，解得a=。
∴拋物線C₁的解析式為，一般形式為。
（2）當m=2時，m²=4，
∵BC∥x軸，∴點B、C的縱坐標為4。
∴，解得x₁=5，x₂=﹣3。
∴點B（﹣3，4），C（5，4）。
∵點A、C關于y軸對稱，∴點A的坐標為（﹣5，4）。
設拋物線C₂的解析式為，
則，解得h=5。
（3）證明：∵直線AB與x軸的距離是m²，∴點B、C的縱坐標為m²。
∴，解得x₁=1+2m，x₂=1﹣2m。
∴點C的坐標為（1+2m，m²）。
又∵拋物線C₁的對稱軸為直線x=1，∴CE=1+2m﹣1=2m。
∵點A、C關于y軸對稱，∴點A的坐標為（﹣1﹣2m，m²）。
∴。
設拋物線C₂的解析式為，
則，解得h=2m+1。
∴EF=h+m²=m²+2m+1。
∴。

試題分析：（1）設拋物線C₁的頂點式形式（a≠0），然后把點（0，）代入求出a的值，再化為一般形式即可。
（2）先根據m的值求出直線AB與x軸的距離，從而得到點B、C的縱坐標，然后利用拋物線解析式求出點C的橫坐標，再根據關于y軸對稱的點的橫坐標互為相反數，縱坐標相同求出點A的坐標，然后根據平移的性質設出拋物線C₂的解析式，再把點A的坐標代入求出h的值即可。
（3）先把直線AB與x軸的距離是m²代入拋物線C₁的解析式求出C的坐標，從而求出CE，再表示出點A的坐標，根據拋物線的對稱性表示出ED，根據平移的性質設出拋物線C₂的解析式，把點A的坐標代入求出h的值，然后表示出EF，最后根據銳角的正切值等于對邊比鄰邊列式整理即可得證。