Question

如圖，已知點A (2，4) 和點B (1，0)都在拋物線上.

（1）求m、n；
（2）向右平移上述拋物線，記平移后點A的對應點為A′，點B的對應點為B′，若四邊形A A′B′B為菱形，求平移后拋物線的表達式；
（3）記平移后拋物線的對稱軸與直線AB′ 的交點為C，試在x軸上找一個點D，使得以點B′、C、D為頂點的三角形與△ABC相似.

Answer 1

（1），4；（2）；（3）D（3，0）或（，0）．

試題分析：（1）已知了拋物線圖象上A、B兩點的坐標，將它們代入拋物線的解析式中，即可求得m、n的值；（2）根據A、B的坐標，易求得AB的長；根據平移的性質知：四邊形A A′B′B一定為平行四邊形，若四邊形A A′B′B為菱形，那么必須滿足AB=BB′，由此可確定平移的距離，根據“左加右減”的平移規律即可求得平移后的拋物線解析式；（3）易求得直線AB′的解析式，聯立平移后的拋物線對稱軸，可得到C點的坐標，進而可求出AB、BC、AC、B′C的長，在（2）題中已經證得AB=BB′，那么∠BAC=∠BB′C，即A、B′對應，若以點B′、C、D為頂點的三角形與△ABC相似，可分兩種情況考慮：①∠B′CD=∠ABC，此時△B′CD∽△ABC，②∠B′DC=∠ABC，此時△B′DC∽△ABC，根據上述兩種不同的相似三角形所得不同的比例線段，即可求得不同的BD長，進而可求得D點的坐標．
試題解析：（1）由于拋物線經過A （2，4）和點B （1，0），則有：
，解得.
（2）由（1）得：，
由A （2，4）、B （1，0），根據勾股定理可得，
若四邊形A A′B′B為菱形，則AB=BB′=5，即B′（6，0）.
故拋物線需向右平移5個單位，即：.
（3）由（2）得：平移后拋物線的對稱軸為：x=4，
∵A（2，4），B′（6，0），∴直線AB′：.
當x=4時，y=1，故C（4，1）. ∴AC=3，B′C=，BC=.
由（2）知：AB=BB′=5，即∠BAC=∠BB′C.
若以點B′、C、D為頂點的三角形與△ABC相似，則：
①∠B′CD=∠ABC，則△B′CD∽△ABC，可得：，即，∴B′D=3，此時D（3，0）；②∠B′DC=∠ABC，則△B′DC∽△ABC，可得：即，∴，此時D（，0）.
綜上所述，存在符合條件的D點，且坐標為：D（3，0）或（，0）．