Question

【題目】如圖，在中，，點O是BC上一點，以點O圓心，OC為半徑的圓交BC于點D，恰好與AB相切于點E．

求證：AO是的平分線；

若，，求及AC的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）12cm.

【解析】

（1）由∠ACB=90°，且OC為圓O的半徑，判斷得到AC與圓O相切，又AB與圓O相切，根據切線長定理得到AO為∠BAC的平分線，且AE=AC；

（2）由BE為圓O的切線，BC為圓O的割線，利用切割線定理列出關系式，將BD及BE的長代入，求出BC的長，用BC-BD求出直徑CD的長，進而確定出圓O的半徑，由OD+BD求出OB的長，連接OE，由切線的性質得到OE垂直于BE，在直角三角形OEB中，利用銳角三角函數定義求出sinB的值，同時由OB及OE的長，利用勾股定理求出BE的長，由∠ACB=90°，OC為圓O的半徑，可得出AC為圓O的切線，由AE與AC都為圓的切線，根據切線長定理得到AE=AC，設AC=AE=xcm，由AE+EB表示出AB，再由BC及AC，在直角三角形ABC中，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為AC的長．

，OC為圓O的半徑，

為圓O的切線，又AB與圓O相切，E為切點，

，AO平分；

為圓O的切線，BC為圓O的割線，

，又，，

，即，

，

連接OE，由BE為圓O的切線，得到，

在直角三角形BEO中，，，

，，

在直角三角形ABC中，設，則，

，

根據勾股定理得：，即，

解得：，

則．