Question

【題目】已知：如圖，在矩形ABCD中，點E在邊AD上，點F在邊BC上，且AE=CF，作EG∥FH，分別與對角線BD交于點G、H，連接EH，FG．

（1）求證：△BFH≌△DEG；

（2）連接DF，若BF=DF，則四邊形EGFH是什么特殊四邊形？證明你的結論．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）四邊形EGFH是菱形，理由見解析

【解析】

（1）由平行四邊形的性質得出AD∥BC，AD=BC，OB=OD，由平行線的性質得出∠FBH=∠EDG，∠OHF=∠OGE，得出∠BHF=∠DGE，求出BF=DE，由AAS即可得出結論；

（2）先證明四邊形EGFH是平行四邊形，再由等腰三角形的性質得出EF⊥GH，即可得出四邊形EGFH是菱形．

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴∠FBH=∠EDG，

∵AE=CF，

∴BF=DE，

∵EG∥FH，

∴∠OHF=∠OGE，

∴∠BHF=∠DGE，

在△BFH和△DEG中，

，

∴BFH≌△DEG（AAS）；

（2）解：四邊形EGFH是菱形；理由如下：

連接DF，設EF交BD于O．如圖所示：

由（1）得：BFH≌△DEG，

∴FH=EG，

又∵EG∥FH，

∴四邊形EGFH是平行四邊形，

∵DE=BF，∠EOD=∠BOF，∠EDO=∠FBO，

∴△EDO≌△FBO，

∴OB=OD，

∵BF=DF，OB=OD，

∴EF⊥BD，

∴EF⊥GH，

∴四邊形EGFH是菱形．