Question

【題目】如圖1，二次函數yx2x+3的圖象交x軸于A、B兩點(點A在點B的左側)，交y軸于C點，連結AC，過點C作CD⊥AC交AB于點D．

（1）求點D的坐標；

（2）如圖2，已知點E是該二次函數圖象的頂點，在線段AO上取一點F，過點F作FH⊥CD，交該二次函數的圖象于點H(點H在點E的右側)，當五邊形FCEHB的面積最大時，求點H的橫坐標；

（3）如圖3，在直線BC上取一點M(不與點B重合)，在直線CD的右上方是否存在這樣的點N，使得以C、M、N為頂點的三角形與△BCD全等？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）D(，0)；（2）H的橫坐標為；（3）滿足要標的N點坐標有：(，)、(3，3)、(，)．

【解析】

（1）先根據拋物線解析式求出A、B、C的坐標，由射影定理可得OD長度，從而求出D點坐標；

（2）設H點的橫坐標為m，然后將五邊形FCEHB的面積表示成關于m的二次函數，利用配方法可求得面積的最大值以及對應的H點坐標；

（3）由B、C、D的坐標可以求得DC、DB、BC的長度，然后分類討論，分別畫出符合要求的對應圖形進行計算即可．

（1）令x=0，則y=3，∴C(0，3)，∴OC=3．

令y=0，則x2x+3=0，

解得：x1=﹣4，x2=6，

∴A(﹣4，0)，B(6，0)，∴OA=4，OB=6．

∵CD⊥AC，∴∠ACD=90°．

∵CO⊥AD，

∴OC2=OAOD，

∴OD，∴D(，0)．

（2）∵yx2x+3(x﹣1)2，

∴E(1，)．

如圖2，連接OE、BE，作HG⊥x軸于點G，交BE于點P．

由B、E兩點坐標可求得直線BE的解析式為：yx．

設H(m，m2m+3)，則P(m，m)，

∴HGm2m+3，HP=m2m，

∴S△BHE(xB﹣xE)HP(m2m)m2m．

∵FH⊥CD，AC⊥CD，∴AC∥FH，∴∠HFG=∠CAO．

∵∠AOC=∠FGH=90°，∴△ACO△FHG，

∴，∴FGHGm2m+4，

∴AF=AG﹣FG=m+4m2m﹣4m2m，

∴S△AFCAFOC(m2m)m2+m．

∵S四邊形ACEB=S△ACO+S△OCE+S△OEB4×33×16，

∴S五邊形FCEHB=S四邊形ACEB+S△BHE﹣S△AFC(m2m)﹣(m2+m

m2m+15(m)2，

∴當m時，S五邊形FCEHB取得最大值．

此時，H的橫坐標為．

（3）∵B(6，0)，C(0，3)，D(，0)，

∴CD=BD，BC=3，

∴∠DCB=∠DBC．

①如圖3﹣1，△CMN≌△DCB，MN交y軸于K，

則CM=CN=DC=DB，MN=BC=3，∠CMN=∠CNM=∠DBC=∠DCB，∴MN∥AB，∴MN⊥y軸，

∴∠CKN=∠COB=90°，MK=NKMN，

∴△CKN△COB，∴，

∴CK，∴OK=OC+CK，

∴N(，)．

②如圖3﹣2，△MCN≌△DBC，

則CN=CB=3，∠MCN=∠DBC，

∴CN∥AB，∴N(3，3)．

③如圖3﹣3，△CMN≌△DBC，

則∠CMN=∠DCB，CM=CN=DC=DB，MN=BC=3，

∴MN∥CD，

作MR⊥y軸于R，

則，

∴CR，RM，

∴OR=3，

作MQ∥y軸，NQ⊥MQ于點Q，

則∠NMQ=∠DCO，∠NQM=∠DOC=90°，

∴△COD△MQN，∴，

∴MQMN，NQMN，

∴NQ﹣RM，OR+MQ，

∴N(，)．

綜上所述：滿足要標的N點坐標有：

(，)、(3，3)、(，)．