Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象經過點，且當和時所對應的函數值相等．一次函數與二次函數的圖象分別交于， 兩點，點在第一象限．

（）求二次函數的表達式．

（）連接，求的長．

（）連接， 是線段得中點，將點繞點旋轉得到點，連接， ，判斷四邊形的性狀，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析

【解析】（1）根據當x=0和x=5時所對應的函數值相等，可得（5，c），根據待定系數法，可得函數解析式；

（2）聯立拋物線與直線，可得方程組，根據解方程組，可得B、C 的坐標根據勾股定理，可得AB的長；

（3）根據線段中點的性質，可得M點的坐標，根據旋轉的性質，可得MN與BM的關系，根據平行四邊形的判定，可得答案.

解：（）當時．即．

把 代入解析式．

，∴，

∴．

（）∵，∴， ．

∴， ，

∴．

（）四邊形為矩形．

證：∵為中點，∴．

又∵，∴四邊形為平行四邊形．

又∵，∴．

在中．

．

∴，

∴四邊形為矩形．

“點睛”本題考查了二次函數綜合題，利用函數值相等得出（5，c）是解題關鍵，又利用了待定系數法求函數解析式；利用解方程組得出交點坐標，又利用了勾股定理；利用了平行四邊形的判定；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.