Question

【題目】定義：數學活動課上，樂老師給出如下定義：有一組對邊相等而另一組對邊不相等的凸四邊形叫做對等四邊形．
理解：
（1）如圖1，已知A、B、C在格點（小正方形的頂點）上，請在方格圖中畫出以格點為頂點，AB、BC為邊的兩個對等四邊形ABCD；

（2）如圖2，在圓內接四邊形ABCD中，AB是⊙O的直徑，AC=BD．求證：四邊形ABCD是對等四邊形；

（3）如圖3，在Rt△PBC中，∠PCB=90°，BC=11，tan∠PBC= ，點A在BP邊上，且AB=13．用圓規在PC上找到符合條件的點D，使四邊形ABCD為對等四邊形，并求出CD的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1所示（畫2個即可）．

（2）解：如圖2，連接AC，BD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=∠ACB=90°，

在Rt△ADB和Rt△ACB中，

∴Rt△ADB≌Rt△ACB，

∴AD=BC，

又∵AB是⊙O的直徑，

∴AB≠CD，

∴四邊形ABCD是對等四邊形．

（3）解：如圖3，點D的位置如圖所示：

①若CD=AB，此時點D在D1的位置，CD1=AB=13；

②若AD=BC=11，此時點D在D2、D3的位置，AD2=AD3=BC=11，

過點A分別作AE⊥BC，AF⊥PC，垂足為E，F，

設BE=x，

∵tan∠PBC= ，

∴AE= x，

在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB2，

即x2+( x)2=132，

解得：x1=5，x2-5（舍去），

∴BE=5，AE=12，

∴CE=BC-BE=6，

由四邊形AECF為矩形，可得AF=CE=6，CF=AE=12，

在Rt△AFD2中，FD2= ，

∴CD2=CF-FD2=12- ，CD3=CF+FD2=12+ ，

綜上所述，CD的長度為13、12- 或12+ ．

【解析】（1）根據題意畫出兩個等腰梯形即可；（2）由AB是⊙O的直徑，得到Rt△ADB≌Rt△ACB，得到AD=BC，由AB≠CD，得到四邊形ABCD是對等四邊形（3）①若CD=AB，此時點D在D1的位置，CD1=AB=13；②若AD=BC=11，此時點D在D2、D3的位置，AD2=AD3=BC=11，由tan∠PBC的值，得到AE的代數式，根據勾股定理求出CE=BC-BE的值，在Rt△AFD2中，根據勾股定理求出CD2=CF-FD2、CD3=CF+FD2的值，得到CD的長度.
【考點精析】掌握圓內接四邊形的性質和銳角三角函數的定義是解答本題的根本，需要知道把圓分成n(n≥3):1、依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的內接正n邊形2、經過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形；銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數．