Question

【題目】△ABC和△ADE是有公共頂點的三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，點P為射線BD，CE的交點．

(1) ①如圖1，∠ADE＝∠ABC＝45°，求證：∠ABD＝∠ACE．

②如圖2，∠ADE＝∠ABC＝30°，①中的結論是否成立？請說明理由．

(2)在(1) ①的條件下，AB＝6，AD＝4，若把△ADE繞點A旋轉，當∠EAC＝90°時，畫圖并求PB的長度．

Answer 1

【答案】（1）見詳解

（2）結論仍成立,理由見詳解

（3）PB=或.

【解析】

（1）①依據等腰三角形的性質得到AB=AC，AD=AE，依據同角的余角相等得到∠DAB=∠CAE，然后依據SAS可證明△ADB≌△AEC，最后，依據全等三角形的性質可得到∠ABD=∠ACE；

②先判斷出△ADB∽△AEC，即可得出結論；

(2)分為點E在AB上和點E在AB的延長線上兩種情況畫出圖形，然后再證明△PEB∽△AEC，最后依據相似三角形的性質進行證明即可．

解：(1)①∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，

又∵∠ADE＝∠ABC＝45°，∴AD＝AE，AB＝AC，

∴△BAD≌△CAE，∴∠ABD＝∠ACE；

②∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，

∵∠ADE＝∠ABC＝30°，∴,,

∴,

∴△BAD∽△CAE，

∴∠ABD＝∠ACE．

(2)作草圖如圖所示，分為兩種情況：

①當點E在AB上時，

∵∠BAC＝∠DAE，

又∵∠ADE＝∠ABC＝45°，∴AD＝AE，AB＝AC，

∴△BAD≌△CAE，

∴∠ABD＝∠ACE；

∴△AEC∽△BPE，∴，

∵AB＝6，AD＝4，

∴EB＝2，，

∴，解得．

②當點E在AB延長線上時，

∵∠BAC＝∠DAE，又∵∠ADE＝∠ABC＝45°，

∴AD＝AE，AB＝AC，

∴△BAD≌△CAE，

∴∠ABD＝∠ACE；

∴△ABD∽△DPC，

∴，

∵AB＝6，AD＝4，

∴DC＝2，，

∴，解得．

∴．

綜上，或．