Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于H，G為⊙O上一點，連接AG交CD于K，在CD的延長線上取一點E，使EG=EK，EG的延長線交AB的延長線于F．

（1）求證：EF是⊙O的切線；

（2）連接DG，若AC∥EF時．

①求證：△KGD∽△KEG；

②若，AK=，求BF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①見解析，②

【解析】

（1）連接OG．根據切線的判定，證出∠KGE+∠OGA=90°，故EF是⊙O的切線．（2）①證∠E=∠AGD，又∠DKG=∠CKE，故△KGD∽△KGE．②連接OG．，設，，，則，在Rt△AHK中，根據勾股定理得AH2+HK2=AK2，即；由勾股定理得：OH2＋CH2=OC2，；在Rt△OGF中，，，

（1）如圖，連接OG．∵EG=EK，

∴∠KGE=∠GKE=∠AKH，

又OA=OG，∴∠OGA=∠OAG，

∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°，

∴∠KGE+∠OGA=90°，

∴EF是⊙O的切線．

（2）①∵AC∥EF，∴∠E=∠C，

又∠C=∠AGD，∴∠E=∠AGD，

又∠DKG=∠CKE，

∴△KGD∽△KGE．

②連接OG，如圖所示．∵，AK=，

設，∴，，則

KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC=5k，∴HK=CK－CH=k．

在Rt△AHK中，根據勾股定理得AH2+HK2=AK2，

即，，，，則，

設⊙O半徑為R，在Rt△OCH中，OC=R，OH=R－3k，CH=4k，

由勾股定理得：OH2＋CH2=OC2，，∴

在Rt△OGF中，，∴，

∴