Question

【題目】已如兩個全等的等腰△ABC、△DEF，其中∠ACB=∠DFE=90°，E為AB中點，△DEF可繞頂點E旋轉，線段DE，EF分別交線段CA，CB（或它們所在的直線）于M、N．

（1）如圖1，當線段EF經過△ABC的頂點時，點N與點C重合，線段DE交AC于M，已知AC=BC=5，則MC=　 　；

（2）如果2，當線段EF與線段BC邊交于N點，線段DE與線段AC交于M點，連MN，EC，請探究AM，MN，CN之間的等量關系，并說明理由；

（3）如圖3，當線段EF與BC延長線交于N點，線段DE與線段AC交于M點，連MN，EC，則（2）中AM，MN，CN之間的等量關系還成立嗎？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

（1）根據AC=BC，E為AB中點，得出CE⊥AB，∠ACE=∠BCE=∠ACB=45°，∠A=∠ACE=45°，AE=CE，再根據DF=EF，∠DFE=90°，得出∠FED=45°，∠FED=∠AEC，即可得出AM=MC；

（2）先在AM截取AH，使得AH=CN，連接EH，根據AE=CE，∠A=∠BCE=45°證出△AHE≌△CNE，HE=NE，∠AEH=∠CEN，∠HEM=∠AEC﹣∠AEH﹣MEC=∠AEC﹣∠CEN﹣MEC=∠AEC﹣∠MEF=90°﹣45°=45°，∠HEM=∠NEM=45°然后證出△HEM≌△NEM，HM=MN，最后根據AM=AH+HM=CN+MN即可得出答案；

（3）先在CB上截取CH=AM，根據SAS證得△AEM≌△CEH，得出EM=EH，∠AEM=∠CEH，AM=CH，再根據∠MEN和∠AEC的度數，得出∠CEH+∠CEN=∠HEN=45°，再在△EMN和△EHN中，根據SAS證得△EMN≌△EHN，得出MN=HN，即可求出答案．

解：（1）∵AC=BC，E為AB中點，

∴CE⊥AB，∠ACE=∠BCE=∠ACB=45°，

∴∠A=∠ACE=45°，

∴∠AEC=90°，AE=CE，

∵DF=EF，∠DFE=90°，

∴∠FED=45°，

∴∠FED=∠AEC，

又∵AE=CE，

∴AM=MC=AC=，

故答案為：；

（2）AM=MN+CN，理由如下：

如圖2，在AM截取AH，使得AH=CN，連接EH，

由（1）知AE=CE，∠A=∠BCE=45°

∵在△AHE與△CNE中：

，

∴△AHE≌△CNE（SAS），

∴HE=NE，∠AEH=∠CEN，

∴∠HEM=∠AEC﹣∠AEH﹣MEC=∠AEC﹣∠CEN﹣MEC=∠AEC﹣∠MEF=90°﹣45°=45°，

∴∠HEM=∠NEM=45

∵在△HEM與△NEM中：

，

∴△HEM≌△NEM（SAS），

∴HM=MN，

∴AM=AH+HM=CN+MN，

即AM=MN+CN；

（3）猜得：MN=AM+CN，理由如下：

如圖3，在CB上截取CH=AM，連接EH，

在△AEM和△CEH中，

，

∴△AEM≌△CEH（SAS），

∴EM=EH，∠AEM=∠CEH，AM=CH，

∵∠MEN=45°，∠AEC=90°，

∴∠AEM+∠CEN=45°，

∴∠CEH+∠CEN=∠HEN=45°，

∵∠MEN=∠HEN，

在△EMN和△EHN中，

，

∴△EMN≌△EHN（SAS），

∴MN=HN，

∴MN=CH+CN，

∴MN=AM+CN．