Question

【題目】如圖，四邊形 ACDE 是證明勾股定理時用到的一個圖形，a 、b 、c 是 RtABC和 RtBED 的邊長，已知，這時我們把關于 x 的形如二次方程稱為“勾系一元二次方程”．

請解決下列問題：

(1)寫出一個“勾系一元二次方程”；

(2)求證：關于 x 的“勾系一元二次方程”，必有實數根；

(3)若 x 1是“勾系一元二次方程” 的一個根，且四邊形 ACDE 的周長是6，求ABC 的面積．

Answer 1

【答案】（1）(答案不唯一)（2）見解析（3）1.

【解析】

（1）直接找一組勾股數代入方程即可；

（2）根據根的判別式即可求解；

（3）根據方程的解代入求出a,b,c的關系，再根據完全平方公式的變形進行求解.

（1）當a=3,b=4,c=5時，

勾系一元二次方程為；

（2）依題意得△=（）2-4ab=2c2-4ab,

∵a2+b2=c2,∴2c2-4ab=2（a2+b2）-4ab=2（a-b）2≥0，

即△≥0，故方程必有實數根；

（3）把x=-1代入得a+b=c

∵四邊形 ACDE 的周長是6，

即2(a+b)+ c=6，故得到c=2，

∴a2+b2=4，a+b=2

∵(a+b)2= a2+b2+2ab

∴ab=2,

故ABC 的面積為ab=1.