Question

【題目】將一矩形紙片OABC放在直角坐標系中，O為原點，C在x軸上，OA=6，OC=10．
（Ⅰ）如圖①，在OA上取一點E，將△EOC沿EC折疊，使點O落在AB邊上的D點，求E點的坐標；
（Ⅱ）如圖②，在OA、OC邊上選取適當的點E′、F，將△E′OF沿E′F折疊，使O點落在AB邊上D′點，過D′作D′G∥OA交E′F于T點，交OC于G點，設T的坐標為（x，y），求y與x之間的函數關系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若OG=2 ，求△D′TF的面積．（直接寫出結果即可）

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵將△EOC沿EC折疊，使O點落在AB邊上的D點，

∴DC=OC=10．

在Rt△BCD中，∵∠B=90°，BC=OA=6，DC=10，

∴BD= =8．

在Rt△AED中，∵∠DAE=90°，AD=2，DE=OE，AE=6﹣OE，

∴DE2=AD2+AE2，即OE2=22+（6﹣OE）2，

解得 OE= ，

∴E點的坐標為（0， ）；

（Ⅱ）∵將△E′OF沿E′F折疊，使O點落在AB邊上D′點，

∴∠D′E′F=∠OE′F，D′E′=OE′，

∵D′G∥AO，

∴∠OE′F=∠D′TE′，

∴∠D′E′F=∠D′TE′，

∴D′T=D′E′=OE′，

∴TG=AE′；

∵T（x，y），

∴AD′=x，TG=AE′=y，D′T=D′E′=OE′=6﹣y．

在Rt△AD′E′中，∵∠D′AE′=90°，

∴AD′2+AE′2=D′E′2，即x2+y2=（6﹣y）2，

整理，得y=﹣ x2+3；

由（1）可得AD′=OG=2時，x最小，從而x≥2，

當E′F恰好平分∠OAB時，AD′最大即x最大，

此時G點與F點重合，四邊形AOFD′為正方形，即x最大為6，從而x≤6，

故變量x的取值范圍是2≤x≤6．

（Ⅲ）∵T的坐標為（x，y），y=﹣ x2+3，OG=2 ，

∴GT=y=﹣ ×12+3=2，AD'=OG=2 ，

∴DT=6﹣2=4，

作FM⊥AB于M，則FM=BC=6，∠FMD'=90°=∠A，

∴∠1+∠2=90°，

由折疊的性質得：∠ED'F=∠AOC=90°，

∴∠1+∠3=90°，

∴∠2=∠3，

∴△D'MF∽△EAD'，

∴ = ，即 = = ，

設E'O=ED'=x，則AE'=6﹣x，

在Rt△AD'E'中，由勾股定理得：（2 ）2+（6﹣x）2=x2，

解得：x=4，

∴OF=D'F=4 ，

∴GF=OF﹣OG=2 ，

∴△D′TF的面積= D'TGF= ×4×2 =4 ．

【解析】（1）利用折疊性質和勾股定理，構建方程，即可求出E坐標；（2）利用折疊的性質、勾股定理構建方程，變形為函數解析式形式即可；（3）由折疊可得相似三角形，對應邊成比例可求出E'O,進一步求出面積.
【考點精析】根據題目的已知條件，利用翻折變換（折疊問題）和相似三角形的判定與性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應點的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和角相等；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．