Question

【題目】在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，M是AB上的動點（不與A，B重合），過M點作MN∥BC交AC于點N．以MN為直徑作⊙O，并在⊙O內作內接矩形AMPN．令AM=x．

（1）用含x的代數式表示△MNP的面積S；
（2）當x為何值時，⊙O與直線BC相切；
（3）在動點M的運動過程中，記△MNP與梯形BCNM重合的面積為y，試求y關于x的函數表達式，并求x為何值時，y的值最大，最大值是多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：∵MN∥BC，

∴∠AMN=∠B，∠ANM=∠C．

∴△AMN∽△ABC．

∴ ，即 ；

∴AN= x；

∴S=S△MNP=S△AMN= xx= x2．（0＜x＜4）

（2）解：如圖2，設直線BC與⊙O相切于點D，連接AO，OD，則AO=OD= MN．

在Rt△ABC中，BC= =5；

由（1）知△AMN∽△ABC，

∴ ，即 ，

∴MN= x

∴OD= x，

過M點作MQ⊥BC于Q，則MQ=OD= x，

在Rt△BMQ與Rt△BCA中，∠B是公共角，

∴△BMQ∽△BCA，

∴ ，

∴BM= x，AB=BM+MA= x+x=4

∴x= ，

∴當x= 時，⊙O與直線BC相切；

（3）解：隨點M的運動，當P點落在直線BC上時，連接AP，則O點為AP的中點．

∵MN∥BC，

∴∠AMN=∠B，∠AOM=∠APB，

∴△AMO∽△ABP，

∴ ，

∵AM=MB=2，

故以下分兩種情況討論：

①當0＜x≤2時，y=S△PMN= x2，

∴當x=2時，y最大= ×4= ，

②當2＜x＜4時，設PM，PN分別交BC于E，F，

∵四邊形AMPN是矩形，

∴PN∥AM，PN=AM=x，

又∵MN∥BC，

∴四邊形MBFN是平行四邊形；

∴FN=BM=4﹣x，

∴PF=x﹣（4﹣x）=2x﹣4，

又∵△PEF∽△ACB，

∴ ，

∴S△PEF= （x﹣2）2；

y=S△MNP﹣S△PEF= x2﹣ （x﹣2）2=﹣ x2+6x﹣6，

當2＜x＜4時，y=﹣ x2+6x﹣6=﹣ （x﹣ ）2+2，

∴當x= 時，滿足2＜x＜4，y最大=2．

綜上所述，當x= 時，y值最大，最大值是2．

【解析】（1）由MN∥BC，得到△AMN∽△ABC，得到比例，求出S=S△MNP=S△AMN的代數式；（2）當直線BC與⊙O相切于點D時，根據勾股定理在Rt△ABC中，求出BC的值，由（1）知△AMN∽△ABC，得到比例，在Rt△BMQ與Rt△BCA中，∠B是公共角，得到∴△BMQ∽△BCA，得到比例，求出x的值；（3）由MN∥BC，得到△AMO∽△ABP，得到比例，由△MNP與梯形BCNM重合的面積為y，討論得到y關于x的函數表達式，求出y的最大值；此題是綜合題，難度較大，計算和解方程時需認真仔細.
【考點精析】認真審題，首先需要了解相似三角形的判定與性質(相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方)．