Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線的解析式為，將拋物線沿軸翻折得到拋物線，拋物線、的頂點分別為、，點為拋物線上一點，橫坐標為，過點作軸的平行線交拋物線于點．

（1）當時；

①請直接寫出拋物線的解析式；

②當時，求的值；

（2）當時．

①為拋物線上一動點，當為等腰直角三角形時，求的值；

②以為邊向左作正方形，設橫坐標為整數的點稱為“夢想點”，當正方形的內部（不包括邊上）有6個“夢想點”時，直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①；②，2；（2）①，，；②＜m≤

【解析】

（1）①將拋物線對折，即將原來拋物線的x變為－x，代入可得；

②只需點A到直線PQ的距離的3倍與點B到直線PQ的距離相等即可；

（2）①存在3種情況，一種是PM=MQ，第二種是PM=PQ，第三種是PQ=QM，分別按照等腰直角三角形的性質可求得；

②正方形的邊長為8m，根據“夢想點”的定義，可得邊長取值范圍為：2＜8m≤3．

（1）①∵拋物線的解析式為，將拋物線沿軸翻折得到拋物線

∴將中的x變為－x代入，求得的即為的解析式

即：

化簡得；，將m=1代入得：

②∵m=1

∴：，：

∴A(1，1)，B(－1，1)，P的橫坐標為n

∴AP的距離=，BP的距離=n－1

∵

∴n－1=3

解得：n=或n=2

（2）①情況一：PM=MQ，圖形如下，過點M作PQ的垂線，交PQ于點N

由題意得：P(2，－4+4m)，Q(2，－4－4m)

∴PQ=

∵△MPQ是等腰直角三角形，MP=MQ

∴∠MPN=45°，∴△MPN是等腰直角三角形，MN=NP

設點M(x,)

∵MN是PQ的垂直平分線，∴點N、M的縱坐標為：，點N的橫坐標為：2

∴－4=

∵MN=NP，∴2－x=，化簡得：x=2－4m，代入上式并化簡得：

8

解得：m=0(舍)，或m=

情況二：PM=PQ，圖形如下

∵PM=PQ，∴2－x=8m，化簡得：x=2－8m

∵△MPQ是等腰直角三角形，∠MPQ=90°

∴點M的縱坐標與點P的縱坐標相等，即

將x=2－8m代入上式并化簡得：

解得：m=0(舍)，或m=

情況三：QM=PQ，圖形如下

∵MQ=PQ，∴2－x=8m，化簡得：x=2－8m

∵△MPQ是等腰直角三角形，∠MQP=90°

∴點M的縱坐標與點Q的縱坐標相等，即

將x=2－8m代入上式并化簡得：

解得：m=0(舍)，或m=

②∵PQ=8m，四邊形PQDE是正方形，∴正方形的邊長為8m

根據夢想點定義，見下面2個圖形

如圖1：

當正方形的邊長剛好比2大一點點的時候，正方形內包含的夢想點為6個

∴8m＞2，解得：m＞

如圖2：

當正方形的邊長為3時，剛好有4個夢想點，邊長在增加一點，則會有9個夢想點

∴8m≤3，解得：m≤

∴＜m≤