Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑為r（r＞0）．給出如下定義：若平面上一點P到圓心O的距離d，滿足，則稱點P為⊙O的“隨心點”．

（1）當⊙O的半徑r＝2時，A（3，0），B（0，4），C（﹣，2），D（，﹣）中，⊙O的“隨心點”是_____；

（2）若點E（4，3）是⊙O的“隨心點”，求⊙O的半徑r的取值范圍；

（3）當⊙O的半徑r＝2時，直線y＝x+b（b≠0）與x軸交于點M，與y軸交于點N，若線段MN上存在⊙O的“隨心點”，直接寫出b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）A，C；（2）；（3）或．

【解析】

（1）由可求出d的范圍是，再根據各點距離O點的距離，從而判斷是否在此范圍內即可；
（2）由點E的坐標求出d=5，可根據E是⊙O的“隨心點”， ，可求出r的范圍；
（3）如圖，a∥b∥c∥d，⊙O的半徑r=2，可求出，分兩種情況，當點N在y軸正半軸時，當點N在y軸負半軸時，求出答案即可．

解：（1）∵⊙O的半徑r=2，
∴r=1，r=3，

∵，
∴，
∵A（3，0），
∴OA=3，在范圍內，
∴點A是⊙O的“隨心點”，
∵B（0，4），
∴OB=4，而4＞3，不在范圍內，
∴B不是⊙O的“隨心點”，
∵C（-，2），
∴OC=，在范圍內，
∴點C是⊙O的“隨心點”，
∵D（，-），
∴OD=，不在范圍內，
∴點D不是⊙O的“隨心點”，
　故答案為：A，C
（2）∵點E（4，3），
∴OE=，即d=5，

∵點E（4，3）是⊙O的“隨心點”，

∴，

解得；

（3）如圖a∥b∥c∥d，

∵⊙O的半徑r=2，隨心點范圍，
∴，
∵直線MN的解析式為y=x+b，

∴x=0時，y=b；y=0時，x=-b，
∴OM=ON，

∴直線MN與y軸夾角為45°，
①點N在y軸正半軸時，
當點M是⊙O的“隨心點”，此時，點M（-1，0），
將M（-1，0）代入直線MN的解析式y=x+b中，0=-1+b，

解得，b=1，
∴b的最小值為1，
過點O作OG⊥M'N'于G，
當點G是距離⊙O最遠的其中一個“隨心點”時，此時OG=3，
在Rt△ON'G中，∠ON'G=45°，
∴GO=3
∴在Rt△GNN’中， ，

解得ON'，

將N'（0，）代入直線MN的解析式y=x+b中，=b，
∴b的最大值為，
∴，
②當點N在y軸負半軸時，同①的方法得出，

綜上所述，b的取值范圍為或．