Question

【題目】如圖所示，拋物線與軸交于A、B兩點，與軸交于點C，直線經過A、C兩點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點N是軸上的動點，過點N作軸的垂線，交拋物線與點M，交直線AC于點H．

①點D在線段OC上，連結AD、BD，當時，求的最小值；

②當時，將直線AD繞點A旋轉，使直線AD與軸交于點P，請直接寫出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為；（2）①的最小值為4；②點P的坐標為或．

【解析】

（1）先根據直線的解析式求出點A、C的坐標，再利用待定系數法求解即可得；

（2）①先根據拋物線的解析式求出點B的坐標，從而可得AB的長，再根據等量代換、兩點之間線段最短即可得出答案；

②如圖（見解析），分兩種情況討論：先根據點A、B坐標、等腰直角三角形的判定與性質得出DE、AE、OA的長，再根據相似三角形的判定與性質可得出OP的長，從而可得點P的坐標．

（1）對于，令得，令得，解得

∴

把點代入得

解得

則拋物線的解析式為；

（2）①令

解得

∴

∵

∴

由兩點之間線段最短可知，的最小值為AB

即的最小值為4；

②由題意，分以下兩種情況：

如圖1，當直線AD繞點A順時針旋轉時，

∵

∴

為等腰直角三角形

∴

作，則為等腰直角三角形

∵

∴

在中，

∴

在和中，

∴

，即

解得

如圖2，當直線AD繞點A逆時針旋轉時，

∵

∴

作

在和中，

∴

，即

解得

綜上，點P的坐標為或．