Question

如圖，△ABC中，AC=BC=4

2

，∠C=90°，D是AB中點．動點E從點D出發，以每秒1個單位長度的速度沿D至A勻速運動，到點A時停止；另一動點F也從點D出發，以每秒1個單位長度的速度沿D至B勻速運動，點E停止時，點F也隨即停止，以EF為邊作正方形EFGH，使正方形EFGH和點C在直線AB的同側；記點E的運動時間為t（秒），對應的正方形EFGH與△ABC重疊部分的面積為S．
（1）求正方形EFGH的邊GH經過點C時的t值；
（2）請直接寫出S與t的函數關系式，并寫出對應的自變量的取值范圍；
（3）在點E的運動過程中，是否存在這樣的t值，使得△AFH為等腰三角形？若存在，求出對應的t值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接CD，先根據勾股定理列式求出AB，再根據等腰直角三角形的性質，CD⊥AB且CD=

1

2

AB，再表示出EF，然后根據正方形的邊長與CD相等列式求解即可；
（2）根據相似三角形對應高的比等于相似比求出G、H在△ABC邊上的t值，然后分正方形EFGH在△ABC內部，GH過點C前，GH過點C后三種情況分別列式整理即可得解；
（3）表示出AE、EF，再根據正方形的對角線等于邊長的

2

倍表示出FH，利用勾股定理列式表示出AH，然后分AF=FH，AH=FH，AF=AH三種情況列出方程求解即可．

解答：解：（1）如圖，連接CD，∵AC=BC=4

2

，∠C=90°，
∴AB=

AC2+BC2

=

(4 2 )2+(4 2 )2

=8，
∵D是AB中點，
∴CD⊥AB，CD=AD=BD=

1

2

AB=

1

2

×8=4，
∵動點E、F的速度都是每秒1個單位長度，
∴正方形EFGH的邊長EF=t+t=2t，
當正方形EFGH的邊GH經過點C時，CD=EF，
∴2t=4，
解得t=2；

（2）如圖，G、H在△ABC邊上時，∵GH∥AB，
∴△ABC∽△HGC，
∴

HG

AB

=

CD-HE

CD

，
即

2t

8

=

4-2t

4

，
解得t=

4

3

，
E到達點A時，t=AD÷1=4÷1=4，
所以，分三種情況討論：
①0≤t≤

4

3

時，如圖1，正方形EFGH在△ABC內部，
此時，重疊部分為正方形EFGH的面積，S=（2t）²=4t²；
②

4

3

＜t≤2時，如圖2，重疊部分為正方形EFGH的面積減去兩個等腰直角三角形的面積，
設EH與AC相交于M，
∵DE=t，
∴ME=AE=AD-DE=4-t，
∴MH=2t-（4-t）=3t-4，
∴S=（2t）²-2×

1

2

（3t-4）²=-5t²+24t-16；
③2＜t≤4時，如圖3，重疊部分為△ABC的面積減去兩個小等腰直角三角形的面積，
AE=AD-DE=4-t，
S=

1

2

×4

2

×4

2

-2×

1

2

×（4-t）²，
=-t²+8t，
綜上所述，S=

4t2(0≤t≤ 4 3 ) -5t2+24t-16( 4 3 ＜t≤2) -t2+8t(2＜t≤4)

；

（3）∵動點E、F的速度都是每秒1個單位長度，
∴DE=DF=t，
∴AE=4-t，EF=2t，
∴FH=

2

EF=2

2

t，
AF=AD+DF=4+t，
AH=

AE2+EH2

=

(4-t)2+(2t)2

=

5t2-8t+16

，
∵△AFH為等腰三角形，
∴①AF=FH時，4+t=2

2

t，
解得t=

4

2 2 -1

=

8 2 +4

7

，
②AH=FH時，

5t2-8t+16

=2

2

t，
解得t=

4

3

，t=-4（舍去），
③AF=AH時，4+t=

5t2-8t+16

，
解得t=4，t=0（舍去），
綜上所述，t的值為

8 2 +4

7

秒，

4

3

秒，4秒時，△AFH為等腰三角形．

點評：本題考查了相似形綜合題型，主要利用了等腰直角三角形的性質，正方形的性質，相似三角形對應高的比等于相似比，（2）（3）兩個小題，需要分情況討論是本題的難點．