Question

【題目】如圖（1），兩個等腰直角三角形ABC和DEF有一條邊在同一條直線l上，DE＝2，AB=1.將直線EB繞點E逆時針旋轉45°，交直線AD于點M.將圖（1）中的△ABC沿直線l向右平移，設C、E兩點間的距離為k.請解答下列問題：

（1）①當點C與點F重合時，如圖（2）所示，此時的值為 .

②在平移過程中，的值為 （用含k的代數式表示）.

（2）將圖（2）中的△ABC繞點C逆時針旋轉，使點A落在線段DF上，如圖（3）所示，將直線EB繞點E逆時針旋轉45°，交直線AD于點M，請補全圖形，并計算的值.

（3）將圖（1）中的△ABC繞點C逆時針旋轉α（0°＜α≤45°），將直線EB繞點E逆時針旋轉45°，交直線AD于點M，計算的值（用含k的代數式表示）.

Answer 1

【答案】（1）①1；②；（2）圖詳見解析，=1；（3）.

【解析】

（1）①當點C與點F重合時，延長BA交EM的延長線于點N，利用等腰三角形性質得出DE=AN，由此進一步證明△DEM與△AMN全等，最后進一步求出答案即可；②延長BA交EM的延長線于點N，先利用等腰三角形性質得出EC=AN=，然后證明△DEM與△ANM相似，據此進一步求出答案即可；

（2）連接AE，先證明△AEM與△FEB相似，由此進一步利用相似三角形性質求出答案即可；

（3）過點B作BG⊥BE，交直線EM于點G，連接AG，先證明△AGM與△DEM相似，由此進一步利用相似三角形性質求出答案即可.

（1）①當點C與點F重合時，如下圖，延長BA交EM的延長線于點N，

由題意得可得：∠NEB=45°，∠ABE=90°，

∴△EBN是等腰直角三角形，

∴BE=BN，

∵△ABC是等腰三角形，

∴AB=BC，

∴AN=EC，

又∵△DEF是等腰三角形，

∴DE=EF，

∴AN=EC=DE，

∵DE∥AN，

∴∠DEN=∠N，

在△DME與△AMN中，

∵∠DME=∠AMN，∠DEN=∠N，DE=AN，

∴△DEM△AMN（AAS），

∴DM=AM，

∴；

②如圖，延長BA交EM的延長線于點N，

由題意得可得：∠NEB=45°，∠ABE=90°，

∴△EBN是等腰直角三角形，

∴BE=BN，

∵△ABC是等腰三角形，

∴AB=BC，

∴EC=AN=，

∵DE∥AN，

∴△DEM~△ANM，

∴

故答案為：①1，②；

（2）補全如圖所示，連接AE，

∵△ABC、△DEF均為等腰直角三角形，DE＝2，AB＝1，

∴EF＝2，BC=1，∠DEF＝90°，∠DFE＝∠ACB＝45°，

∴DF＝2，AC=，∠EFB＝90°，

∴DF=2AC，AD=，

∵點A為CD的中點，

∴EA⊥DF，EA平分∠DEF，

∴∠MAE＝90°，∠AEF＝45°，AE＝，

∵∠BEM＝45°，

∴∠MEA+∠AEB＝∠BEF+∠AEB＝45°，

∴∠MEA=∠BEF，

∴△AEM~△FEB，

∴，

∴AM=，

∴DM=AD－AM=，

∴=1；

（3）如圖，過點B作BG⊥BE，交直線EM于點G，連接AG，

∴∠EBG=90°,

∵∠BEM＝45°，

∴∠EGB＝45°，

∴BE=BG，

∵△ABC為等腰直角三角形，

∴BA=BC，∠ABC＝90°，

∴∠ABG＝∠CBE，

∴△ABG△CBE，

∴AG＝EC=，∠AGB=∠CEB，

∵∠AGB+∠AGE＝∠DEM+∠CEB＝45°，

∴∠AGE＝∠DEM，

∴AG∥DE，

∴△AGM~△DEM，

∴.