Question

【題目】建立模型：如圖1，已知△ABC，AC=BC，∠C=90°，頂點C在直線l上．

實踐操作：過點A作AD⊥l于點D，過點B作BE⊥l于點E，求證：△CAD≌△BCE．

模型應用：（1）如圖2，在直角坐標系中，直線l1：y=x+4與y軸交于點A，與x軸交于點B，將直線l1繞著點A順時針旋轉45°得到l2．求l2的函數表達式．

（2）如圖3，在直角坐標系中，點B（8，6），作BA⊥y軸于點A，作BC⊥x軸于點C，P是線段BC上的一個動點，點Q（a，2a﹣6）位于第一象限內．問點A、P、Q能否構成以點Q為直角頂點的等腰直角三角形，若能，請求出此時a的值，若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】實踐操作：詳見解析；模型應用：（1）y=x+4；（2）A、P、Q可以構成以點Q為直角頂點的等腰直角三角形，a的值為或4．

【解析】

操作：根據余角的性質，可得∠ACD＝∠CBE，根據全等三角形的判定，可得答案；

應用（1）根據自變量與函數值的對應關系，可得A、B點坐標，根據全等三角形的判定與性質，可得CD，BD的長，根據待定系數法，可得AC的解析式；

（2）分兩種情況討論：①當Q在直線AP的下方時，②當Q在直線AP的上方時．根據全等三角形的性質，可得關于a的方程，根據解方程，可得答案．

操作：如圖1：

∵∠ACD+∠BCE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACD＝∠CBE．

在△ACD和△CBE中，∵，∴△CAD≌△BCE（AAS）；

（1）∵直線yx+4與y軸交于點A，與x軸交于點B，∴A（0，4）、B（﹣3，0）．如圖2：

過點B做BC⊥AB交直線l2于點C，過點C作CD⊥x軸．

在△BDC和△AOB中，∵，∴△BDC≌△AOB（AAS），∴CD＝BO＝3，BD＝AO＝4．OD＝OB+BD＝3+4＝7，∴C點坐標為（﹣7，3）．

設l2的解析式為y＝kx+b，將A，C點坐標代入，得：，解得：，l2的函數表達式為yx+4；

（2）由題意可知，點Q是直線y＝2x﹣6上一點．分兩種情況討論：

①當Q在直線AP的下方時，如圖3，過點Q作EF⊥y軸，分別交y軸和直線BC于點E、F．

在△AQE和△QPF中，∵，∴△AQE≌△QPF（AAS），AE＝QF，即6﹣（2a﹣6）＝8﹣a，解得：a＝4．

②當Q在直線AP的上方時，如圖4，過點Q作EF⊥y軸，分別交y軸和直線BC于點E、F，AE＝2a﹣12，FQ＝8﹣a．

在△AQE和△QPF中，∵，∴△AQE≌△QPF（AAS），AE＝QF，即2a﹣12＝8﹣a，解得：a．

綜上所述：A．P、Q可以構成以點Q為直角頂點的等腰直角三角形，a的值為或4．