Question

【題目】已知拋物線：（m＞0）的頂點為M，交y軸于點G．

（1）如圖，若點G坐標為(0，)

①直接寫出拋物線解析式；

②點Q在y軸上，將線段QM繞點Q逆時針旋轉90°得線段QN，若點N恰好落在拋物線上，求點Q的坐標．

（2） 探究： 將拋物線沿唯一的定直線x=a對稱得拋物線，記拋物線交y軸于點P (0，－2m)，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）①；②Q1(0，)，Q2(0，－)；（2）1

【解析】

（1）①將點G的坐標代入到二次函數解析式中即可求出結論；

②設點Q（0，t），過點N作NA⊥y軸于點A，過點M作NB⊥y軸于點B，利用AAS證出△ANQ≌△BQM，求出二次函數圖象的頂點坐標即可求出點N的坐標，然后將點N的坐標代入解析式中即可求出t的值，從而求出點Q的坐標；

（2）將二次函數的一般式轉化為頂點式即可求出點M的坐標，然后求出拋物線的頂點坐標，將點P的坐標代入得出關于a的一元二次方程，利用a有唯一值令△=0即可求出m的值，從而求出a的值．

解：（1）①將點G(0，)代入解析式中，得

解得：m=1或-1（不符合條件，舍去）

將m=1代入解析式中，得

；

②設點Q（0，t），過點N作NA⊥y軸于點A，過點M作NB⊥y軸于點B，

∴∠NAQ=∠MBQ=90°，

又QM=QN，∠MQN=90°，

∴∠ANQ＋∠AQN=90°，∠BQM＋∠AQN=90°

∴∠ANQ=∠BQM

∴△ANQ≌△BQM，

∴AN=BQ，AQ=BM，

由點M得M（1，），即B（0，），

∴BM=AQ=1，BQ=AN=t+，

∴A（0，t+1)，即N（t+，t+1），

則有（t+）2－2（t+）－=t+1，

解得t1=，t2=－，

∴Q1=（0，），Q2（0，－）

（2）解：：可化為

，

∴頂點M，

又∵拋物線與拋物線關于直線x=a對稱，由對稱性知：

拋物線的頂點坐標為，

∴拋物線的解析式為：，

又∵拋物線交y軸于點 P (0，－2m)，

則有 ，

∴

而直線x=a唯一，

∴，

解得，

所以有，

解得，