Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，連接AC，做△ABC的外接圓⊙O，延長EC交⊙O于點D，連接BD、AD，BC與AD交于點F分，∠ABC=∠ADB。

（1）求證：AE是⊙O的切線；

（2）若AE=12，CD=10，求⊙O的半徑。

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

（1）作輔助線，先根據垂徑定理得：OA⊥BC，再證明OA⊥AE，則AE是⊙O的切線；

（2）連接OC，證明△ACE∽△DAE，得，計算CE的長，設⊙O的半徑為r，根據勾股定理得：r2=62+（r-2）2，解出可得結論．

（1）證明：連接OA，交BC于G，

∵∠ABC=∠ADB．∠ABC=∠ADE，

∴∠ADB=∠ADE，

∴，

∴OA⊥BC，

∵四邊形ABCE是平行四邊形，

∴AE∥BC，

∴OA⊥AE，

∴AE是⊙O的切線；

（2）連接OC，

∵AB=AC=CE，

∴∠CAE=∠E，

∵四邊形ABCE是平行四邊形，

∴BC∥AE，∠ABC=∠E，

∴∠ADC=∠ABC=∠E，

∴△ACE∽△DAE，，

∵AE=12，CD=10，

∴AE2=DECE，

144=（10+CE）CE，

解得：CE=8或-18（舍），

∴AC=CE=8，

∴Rt△AGC中，AG==2，

設⊙O的半徑為r，

由勾股定理得：r2=62+（r-2）2，

r=，

則⊙O的半徑是．