Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分線，點O在AB上，以點O為圓心，OB為半徑的圓經過點D，交BC于點E．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若OB=10，CD=8，求BE的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接OD，

∵BD為∠ABC平分線，

∴∠1=∠2，

∵OB=OD，

∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，

∴OD∥BC，

∵∠C=90°，

∴∠ODA=90°，

則AC為圓O的切線

（2）

解：

過O作OG⊥BC，

∴四邊形ODCG為矩形，

∴GC=OD=OB=10，OG=CD=8，

在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG=6，

∴BC=BG+GC=6+10=16，

∵OD∥BC，

∴△AOD∽△ABC，

∴ ，即 ，

解得：OA= ，

∴AB= +10= ，

連接EF，

∵BF為圓的直徑，

∴∠BEF=90°，

∴∠BEF=∠C=90°，

∴EF∥AC，

∴ ，即 ，

解得：BE=12

【解析】（1）連接OD，由BD為角平分線得到一對角相等，根據OB=OD，等邊對等角得到一對角相等，等量代換得到一對內錯角相等，進而確定出OD與BC平行，利用兩直線平行同位角相等得到∠ODA為直徑，即可得證；
　　　　（2）由OD與BC平行得到三角形OAD與三角形BAC相似，由相似得比例求出OA的長，進而確定出AB的長，連接EF，過O作OG垂直于BC，利用勾股定理求出BG的長，由BG+GC求出BC的長，再由三角形BEF與三角形BAC相似，由相似得比例求出BE的長即可．此題考查了切線的判定，相似三角形的判定與性質，平行線的判定與性質，以及等腰三角形的性質，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關鍵．