Question

隨著綠城南寧近幾年城市建設的快速發展，對花木的需求量逐年提高．某園林專業戶計劃投資種植花卉及樹木，根據市場調查與預測，種植樹木的利潤y₁與投資量x成正比例關系，如圖①所示；種植花卉的利潤y₂與投資量x成二次函數關系，如圖②所示（注：利潤與投資量的單位：萬元）
（1）分別求出利潤y₁與y₂關于投資量x的函數關系式；
（2）如果這位專業戶以8萬元資金投入種植花卉和樹木，他至少獲得多少利潤，他能獲取的最大利潤是多少？

Answer 1

（1）設y₁=kx，由圖①所示，函數y₁=kx的圖象過（1，2），
所以2=k•1，k=2，
故利潤y₁關于投資量x的函數關系式是y₁=2x（x≥0）；
∵該拋物線的頂點是原點，
∴設y₂=ax²，
由圖②所示，函數y₂=ax²的圖象過（2，2），
∴2=a•2²，a=

1

2

，
故利潤y₂關于投資量x的函數關系式是：y=

1

2

x²（x≥0）；

（2）設這位專業戶投入種植花卉x萬元（0≤x≤8），則投入種植樹木（8-x）萬元，他獲得的利潤是z萬元，根據題意，
得z=2（8-x）+

1

2

x²=

1

2

x²-2x+16=

1

2

（x-2）²+14，
當x=2時，z的最小值是14，
∵0≤x≤8，
∴-2≤x-2≤6，
∴（x-2）²≤36，
∴

1

2

（x-2）²≤18，
∴

1

2

（x-2）²+14≤18+14=32，
即z≤32，此時x=8，
答：當x=8時，z的最大值是32．