Question

【題目】已知：如圖在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的邊OA在y軸的負半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA=2，OC=3，過原點O作∠AOC的平分線交線段AB于點D，連接DC，過點D作DE⊥DC，交線段OA于點E．

（1）求過點E、D、C的拋物線的解析式；

（2）如圖2將∠EDC繞點D按逆時針方向旋轉后，角的一邊與y軸的負半軸交于點F，另一邊與線段OC交于點G，如果DF與（1）中的拋物線交于另一點M，點M的橫坐標為，求證：EF=2GO；

（3）對于（2）中的點G，在位于第四象限內的該跑物像上是否存在點Q，使得直線GQ與AB的交點P與點C、G構成的△PCG是等腰三角形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）EF=2GO；

（3）Q（2，2）或（1，）或（，）．

【解析】

試題分析：（1）利用待定系數法求解拋物線解析式；

（2）利用待定系數法求解直線解析式，得到F（0，3），EF=2，從而得出∠FDA=∠GDK，KG=AF即可；

（3）分三種情況，①PG=PC，②若PG=GC，③若PG=GC，由勾股定理解得即可．

試題解析：（1）由已知，得C（3，0），D（2，2），

∵∠ADE90°﹣∠CDB=∠BCD，

∴AD=BC，AD=2，

∴E（0，1），設過點E，D，C的拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），

將點E，D，C的坐標分別代入，得；

解這個方程組，得，

∴拋物線點的解析式為；

（2）證明：∵點M在拋物線上，且它的橫坐標為，

設DM的解析式為y=kx+m（k≠0），

將點D，M的坐標分別代入，得，

解得，

∴DM的解析式為，

∴F（0，3），EF=2．

過點D作DK⊥OC于K，

∴DA=DK，

∵∠ADK=∠FDG=90°，

∴∠FDA=∠GDK，

∴KG=AF=1，

∵OC=3，

∴EF=2GO．

（3）如圖：

∵點P在AB上，G（1，0），C（3，0），

則設P（t，2），

∴PG2=（t﹣1）2+22，PC2=（3﹣t）2+22，CG=2

①PG=PC，

∴（t﹣1）2+22=（3﹣t）2+22，

∴t=2

∴P（2，2），

此時點Q與點P重合，

∴Q（2，2），

②若PG=GC，

∴（t﹣1）2+22=22，

∴t=1，

∴P（1，2），

此時GP⊥x軸，GP與拋物線在第一象限內的交點Q的橫坐標為1，

∴Q的縱坐標為，

∴Q（1，）．

③若PG=GC，

∴（3﹣t）2+22=22，

∴t=3，

∴P（3，2），此時PC=GC=2，

∴△PGC為等腰直角三角形，過點Q作QH⊥x軸于點H，

∴QH=GH，SHE QH=h，

∴Q（h+1，h），

∴（h+1）2+（h+1）+1=h，

∴h=﹣2（舍）或h=，

∴Q（，），

∴Q（2，2）或（1，）或（，）．