Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（m，m），點B的坐標為（n，﹣n），拋物線經過A、O、B三點，連接OA、OB、AB，線段AB交y軸于點C．已知實數m、n（m＜n）分別是方程x2﹣2x﹣3=0的兩根．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點P為線段OB上的一個動點（不與點O、B重合），直線PC與拋物線交于D、E兩點（點D在y軸右側），連接OD、BD．

①當△OPC為等腰三角形時，求點P的坐標；

②求△BOD 面積的最大值，并寫出此時點D的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+x；（2）①P點坐標為P1（，-）或P2（，﹣）或P3（，﹣），②D（，﹣）．

【解析】試題分析：（1）首先解方程得出A，B兩點的坐標，進而利用待定系數法求出二次函數解析式即可；
（2）①首先求出AB的直線解析式，以及BO解析式，再利用等腰三角形的性質得出當OC=OP時，當OP=PC時，點P在線段OC的中垂線上，當OC=PC時分別求出x的值即可；
②利用S△BOD=S△ODQ+S△BDQ得出關于x的二次函數，進而得出最值即可．

試題解析：解（1）解方程x2﹣2x﹣3=0，

得 x1=3，x2=﹣1．

∵m＜n，

∴m=﹣1，n=3

∴A（﹣1，﹣1），B（3，﹣3）．

∵拋物線過原點，設拋物線的解析式為y=ax2+bx（a≠0）．

∴，

解得： ，

∴拋物線的解析式為y=x2+x ．

（2）①設直線AB的解析式為y=kx+b．

∴；解得： ，

∴直線AB的解析式為y=x+．

∴C點坐標為（0，-）．

∵直線OB過點O（0，0），B（3，﹣3），

∴直線OB的解析式為y=﹣x．

∵△OPC為等腰三角形，

∴OC=OP或OP=PC或OC=PC．

設P（x，﹣x），

（i）當OC=OP時，x2+（-x）2=．

解得x1=，x2=-，（舍去）．

∴P1（，-）．

（ii）當OP=PC時，點P在線段OC的中垂線上，

∴P2（，﹣）．

（iii）當OC=PC時，由x2+（-x+）2=，

解得x1=，x2=0（舍去）．

∴P3（，﹣）．

∴P點坐標為P1（，-）或P2（，﹣）或P3（，﹣）．

②過點D作DG⊥x軸，垂足為G，交OB于Q，過B作BH⊥x軸，垂足為H．

設Q（x，﹣x），D（x，-x2+x）．

S△BOD=S△ODQ+S△BDQ=DQOG+DQGH，

=DQ（OG+GH），

= [x+(+ )]×3，

=-（x-）2+，

∵0＜x＜3，

∴當x=時，S取得最大值為，此時D（，﹣）．