Question

【題目】若一個數能表示成某個整數的平方的形式，則稱這個數為完全平方數，完全平方數是非負數．例如：0＝02，1＝12，4＝22，9＝32，16＝42，25＝52，36＝62，121＝112…．

（1）若28+210+2n是完全平方數，求n的值．

（2）若一個正整數，它加上61是一個完全平方數，當減去11是另一個完全平方數，寫出所有符合的正整數．

Answer 1

【答案】（1）n＝4或n＝10；（2）所有符合的正整數是20、60或300．

【解析】

（1）直接利用a+2ab+b=(a+b) ,分別使每一項與公式對應即分3種情況求出n的值即可；

（2）根據題意，設正整數為x,則x+61=a,x-11=b,進而得出關于a,b的等式，再分別討論求出答案即可．

（1）解：∵a2+b2+2ab＝（a+b）2，

∴若28＝a2，210＝b2，

則a＝24，b＝25，2n＝2ab＝210，解得：n＝10

若28＝a2，210＝2ab，

所以b＝25，

則2n＝b2＝210，

解得：n＝10，

若210＝a2，28＝2ab，

所以b＝22，

則2n＝b2＝24，

解得：n＝4，

所以n＝4或n＝10；

（2）解：設正整數為x，則x+61＝a2，x﹣11＝b2（a＞b，且a，b是正整數），

則a2﹣b2＝x+61﹣x+11＝72，

故（a+b）（a﹣b）＝72，

由于a+b與a﹣b同奇偶，

故或或者，

當時,

解得：，

∴x＝b2+11＝60；

當時，

解得：，

∴x＝b2+11＝300；

當時，

解得：，

∴x＝b2+11＝20．

所以所有符合的正整數是20、60或300．