Question

【題目】如圖①已知正方形ABCD的邊BC、CD上分別有E、F兩點，且∠EAF=45°，現將△ADF繞點A順時針旋轉90°至△ABH處.

（1）線段EF、BE、DF有何數量關系？并說明理由；

模仿（1）中的方法解決（2）、（3）兩個問題：

（2）如圖②，若將E、F移至BD上，其余條件不變，且BE=，DF=3，求EF的長；

（3）如圖③，圖形變成矩形ABCD，∠EAF=45°，BE=3，AB=6，AD=10，求DF和EF的長.

Answer 1

【答案】(1) EF=BE+DF；(2) ；(3) ，.

【解析】試題分析：（1）由旋轉的性質得：△ADF≌△ABH，從而可由SAS證△HAE≌△FAE，得到EF=HE，從而得到結論；

（2）把△ABE繞點A旋轉90°到△ADG，連接GF．同（1）可得：△AGD≌△AEB，△AEF≌△AGF，得到BE=GD，∠GDA=∠EBA=45°，EF=GF，由∠FDA=45°，得到∠FDG=90°．在Rt△GDF中，由勾股定理即可得到結論；

（3）把△ADF繞A旋轉90°到△AQH，連接EH，過E作EP⊥HQ 于P．同理得△ADF≌△AQH，△HAE≌△FAE，EF=HE．設DF=x．在Rt△HPE與Rt△ECF中，由勾股定理即可得出結論．

試題解析：解：（1）EF=BE+DF．理由如下：

由旋轉的性質得：△ADF≌△ABH，∴AH=AF，DF=HB，∠HAB=∠DAF．∵∠DAF+∠FAB=90°，∴∠FAH=90°．∵∠EAF=45°，∴∠EAH=45°，∴∠EAF=∠EAH．在△EAF和△EAH中，∵AF=AH，∠EAF=∠HAE，AE=AE，∴△HAE≌△FAE（SAS），∴EF=HE．∵HE=HB+BE=DF+BE，∴EF=BE+DF；

（2）把△ABE繞點A旋轉90°到△ADG，連接GF．同（1）可得：△AGD≌△AEB，△AEF≌△AGF，∴BE=GD，∠GDA=∠EBA=45°，EF=GF．∵∠FDA=45°，∴∠FDG=90°，∴EF=FG====；

（3）把△ADF繞A旋轉90°到△AQH，連接EH，過E作EP⊥HQ 于P．

同理得△ADF≌△AQH，△HAE≌△FAE（SAS），∴EF=HE．

設DF=x．在Rt△HPE與Rt△ECF中，由勾股定理得：

，

∴ ；

解得： ，∴DF=，EF=．