Question

【題目】綜合與實踐：問題情境：在一次綜合實踐活動課上，同學們以菱形為對象，研究菱形旋轉中的問題：已知，在菱形中，為對角線，，，將菱形繞頂點順時針旋轉，旋轉角為（單位）.旋轉后的菱形為.在旋轉探究活動中提出下列問題，請你幫他們解決.

（1）如圖1，若旋轉角，與相交于點，與相交于點.請說明線段與的數量關系；

（2）如圖2，連接，菱形旋轉的過程中，當與互相垂直時，的長為______；

（3）如圖3，若旋轉角為時，分別連接，，過點分別作，，連接，菱形旋轉的過程中，發現在中存在長度不變的線段，請求出長度；

操作探究：（4）如圖4，在（3）的條件下，請判斷以，，三條線段長度為邊的三角形是什么特殊三角形，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1），理由見解析；（2）；（3）EF=2;（4），，三條線段為邊的三角形是直角三角形，理由見解析

【解析】

（1）根據菱形的性質以及旋轉的性質，證得,根據 證得，可以得到結論；

（2）根據菱形的性質及 條件與互相垂直，證明A、D、C在同一直線上，利用銳角三角函數求得對角線的長，即可求得結論；

（3）利用等腰三角形三線合一的性質，EF是的中位線，從而證明＝2；

（4）以為邊向外作等邊三角形，利用等邊三角形的性質以及SAS證明，得到，把、、三條線段歸結到一個三角形中，易證得是直角三角形，從而得到結論.

（1），理由如下：

∵四邊形是菱形，∴.

∴.

由旋轉的性質可得：，，，，

∴.

∴，

即.

在和中，

，

∴，∴.

（2）菱形AB'CD'中，B'D'＝AB ,∠B'AD'=60° ,

AB平分∠B'AD' （等腰三角形三線合一）,

∴∠BAD'=30°,

∵∠B_AD= 60°,

∴∠BAD'=∠D'AD=30°，

∴A 、D、C在同一直線上，

如圖，菱形ABCD中, BD為對角線,∠BAD= 60°,AB＝4,

∴∠DAG=∠BAG=30°,AC=2AG

∴,

∴,

∴,

故答案為:

（3）如圖，連接，由題可得：.

∵，

∴（等腰三角形三線合一），同理，

∴是的中位線，∴.

∵四邊形是菱形，∴，

又∵，是等邊三角形，

∴，∴.

（4）以，，三條線段為邊的三角形是直角三角形，理由如下：

如圖，以為邊向外作等邊三角形，連接，，

∵四邊形是菱形，，

∴與是等邊三角形，.

由（3）可知：與都是等腰三角形，

∴

.

∵與是等邊三角形，

∴，，，

∴，∴.

在和中，

，

∴，

∴，，

∴.

∴是直角三角形，

即以，，三條線段長度為邊的三角形是直角三角形.