Question

【題目】如圖1，已知拋物線y=﹣x2﹣4x+5交x軸于點A、B兩點（點A在點B的左側），交y軸于點C，點D為拋物線的頂點，連接AD．

（1）求直線AD的解析式．

（2）點E（m，0）、F（m+1，0）為x軸上兩點，其中（﹣5＜m＜﹣3.5）EE′、FF′分別平行于y軸，交拋物線于點E′和F′，交AD于點M、N，當ME′+NF′的值最大時，在y軸上找一點R，使得|RE′﹣RF′|值最大，請求出點R的坐標及|RE′﹣RF′|的最大值．

（3）如圖2，在拋物線上是否存在點P，使得△PAC是以AC為底邊的等腰三角形，若存在，請出點P的坐標及△PAC的面積，若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）y=3x+15；（2）點R的坐標是（0，17），最大值為；（3）存在，P（ ），P′（），面積為

【解析】

(1)根據拋物線的解析式求得點A、D的坐標，然后利用待定系數法來求直線AD的解析式即可;

(2)根據平行線的性質和函數圖象上點的坐標特征易得

ME'＋ NF'＝－m2－7m－10－m2－9m－18＝2m2－16m－28;結合二次函數最值的求法和兩點間線段最短得到:要使|RE′－ RF′|值最大，則點E'、F′、R三點在一條直線上,只需求得點E'、F'的坐標，利用待定系數法推知直線E'F'關系式，由該關系式來求點R的坐標即可;

(3)當PA ＝ PC時,點P在線段AC的垂直平分線上,結合三角形的面積公式進行解答.

（1）如圖1，∵y=﹣x2﹣4x+5=﹣（x+5）（x﹣1）或y=﹣（x+2）2+9，

∴A（﹣5，0），B（1，0），D（﹣2，9）．

設直線AD的解析式為：y=kx+b（k≠0），把A、D的坐標代入，得

，

解得．

故直線AD的解析式為：y=3x+15；

（2）如圖1，∵EE′∥y軸，FF′∥y軸，E（m，0）、F（m+1，0），

∴E（m，﹣m2﹣4m+5）、F（m+1，﹣（m+1）2﹣4（m+1）+5），M（m，3m+15），N（m+1，3（m+1）+15），

∴ME′=﹣m2﹣4m+5﹣（3m+15）=﹣m2﹣7m﹣10，NF′=﹣m2﹣9m﹣18，

∴ME′+NF′=﹣m2﹣7m﹣10﹣m2﹣9m﹣18=2m2﹣16m﹣28．

∵﹣2＜0，

∴m=﹣=﹣4，

∴ME′+NF′有最大值，此時E′（﹣4，5），F′（﹣3，8），

要使|RE′﹣RF′|值最大，則點E′、F′、R三點在一條直線上，

∴設直線E′F′：y=kx+b（k≠0），則

，

解得，

∴直線E′F′：y=3x+17（k≠0）．

當x=0時，y=17，則點R的坐標是（0，17）．

此時，|RE′﹣RF′|的最大值為=；

（3）如圖2，設點P（x，﹣x2﹣4x+5）．

當PA=PC時，點P在線段AC的垂直平分線上，

∵OC=OA，

∴點O在線段AC的垂直平分線上，

∴點P在∠AOC的角平分線上，

∴﹣x=﹣x2﹣4x+5，

解得x1=，x2=，

∴P（，），P′（，）．

∴PH=OP﹣OH=，P′H=OP′+OH=，

∴S△PAC=ACPH=×5×=或S△PAC=ACP′H=×5×=．