Question

【題目】在Rt△ABC，∠C=90°，D為AB邊上一點，點M、N分別在BC、AC邊上，且DM⊥DN．作MF⊥AB于點F，NE⊥AB于點E．

（1）特殊驗證：如圖1，若AC=BC，且D為AB中點，求證：DM=DN，AE=DF；
（2）拓展探究：若AC≠BC．
①如圖2，若D為AB中點，（1）中的兩個結論有一個仍成立，請指出并加以證明；
②如圖3，若BD=kAD，條件中“點M在BC邊上”改為“點M在線段CB的延長線上”，其它條件不變，請探究AE與DF的數量關系并加以證明．

Answer 1

【答案】
（1）證明：若AC=BC，則△ABC為等腰直角三角形，

如答圖1所示，連接CD，則CD⊥AB，又∵DM⊥DN，∴∠1=∠2．

在△AND與△CMD中，

∴△AND≌△CMD（ASA），

∴DN=DM．

∵∠4+∠1=90°，∠1+∠3=90°，∴∠4=∠3，

∵∠1+∠3=90°，∠3+∠5=90°，∴∠1=∠5，

在△NED與△DFM中，

∴△NED≌△DFM（ASA），

∴NE=DF．

∵△ANE為等腰直角三角形，∴AE=NE，∴AE=DF

（2）①答：AE=DF．

證法一：由（1）證明可知：△DEN∽△MFD

∴ ，即MFEN=DEDF．

同理△AEN∽△MFB，

∴ ，即MFEN=AEBF．

∴DEDF=AEBF，

∴（AD﹣AE）DF=AE（BD﹣DF），

∴ADDF=AEBD，∴AE=DF．

證法二：如答圖2所示，過點D作DP⊥BC于點P，DQ⊥AC于點Q．

∵D為AB中點，

∴DQ=PC=PB．

易證△DMF∽△NDE，∴ ，

易證△DMP∽△DNQ，∴ ，

∴ ；

易證△AEN∽△DPB，∴ ，

∴ ，∴AE=DF．

②答：DF=kAE．

證法一：由①同理可得：DEDF=AEBF，

∴（AE﹣AD）DF=AE（DF﹣BD）

∴ADDF=AEBD

∵BD=kAD

∴DF=kAE．

證法二：如答圖3，過點D作DP⊥BC于點P，DQ⊥AC于點Q．

易證△AQD∽△DPB，得 ，即PB=kDQ．

由①同理可得： ，

∴ ；

又∵ ，

∴ ，

∴DF=kAE

【解析】（1）連接CD，首先證明△AND≌△CMD，依據全等三角形的性質可得到DN=DM，然后再證明△NED≌△DFM，從而可得到DF=NE，然后依據等腰三角形的性質可得到AE=NE=DF；
（2）①若D為AB中點，則△DEN∽△MFD，△AEN∽△MFB，然后依據相似三角形的性質列出比例式，接下來，由線段比例關系可以證明AE=DF結論依然成立；②若BD=kAD，證明思路與①類似.
【考點精析】認真審題，首先需要了解相似三角形的判定與性質(相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方)．